泰勒公式的推导（如何推导函数的泰勒公式）

我们在研究函数时，难免会遇到很多复杂函数，那么此时我们就可以用泰勒公式对该函数进行展开，将它化为多项式来方便我们探究性质和计算。

我们将形如：

的式子叫做函数 带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式。

下面，我们来证明这一公式：

在开始证明之前，我们先考虑两个引理。

引理一：如果在a的附近有n阶导数存在，那么若

就有

证明：我们想要证明 是 的高阶无穷小，那么我们只需证明当 趋近于0时， 和 的比值也趋近于0即可。

所以我们考虑极限

因为此时分子分母都趋向于0时符合洛必达法则的条件，所以我们多次使用洛必达进行化简：

所以 是 的高阶无穷小证毕。

引理二：如果两个函数分别记作 ，并且满足

其中 ，那么就有

证明：我们可以设函数 ，此时发现 满足引理一的条件，而代入引理一即可证明引理二的结论。

接下来我们利用两个引理来证明泰勒公式成立：

这里我们设待展开函数为

我们考虑多项式：

我们想要将它和待展开函数满足引理二中的关系，即：

其中

我们对 求导可以发现

接着为了构造出引理二中的形式，我们使 其中

由此得到

通过这个等式得到 ，这样选择 可以使得 和 满足引理二中的条件。

那么此时的 可以写成：

那么由引理二可知：

由此我们证明对于函数 有皮亚诺余项的n阶泰勒公式成立。