中考三角形动点问题的解题技巧（从2022年上海中考数学压轴题的解法看三角形重心定理的运用）

三角形三条中线相交于一点，该点叫做三角形的重心.三角形的重心具有两个重要的性质：

第一，重心分每条中线的比为2:1（到顶点距离等于到中点距离的2倍）；

第二，两条中线的交点就是三角形的重心，经过第三个顶点和重心的直线平分第三边.

2022年上海中考数学压轴题：

如图，在平行四边形ABCD中，P是线段BC的中点，连接BD交AP与点E，连接CE.

（1）如果AE=CE，

I:求证：平行四边形ABCD是菱形；

Ii:若AB=5，CE=3，求线段BD的长；

（2）分别以点A，B为圆心，AE，BE为半径作圆，两圆交于点E，F，点F恰好落在射线CE上，如果CE=√2AE，求AB/BC的值.

解析：（1）i：如图，连接AC交BD于O.欲证平行四边形ABCD是菱形，只需证明AC⊥BD即可.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AO=CO，

在△ACE中，

因为AE=CE，

所以EO⊥AC，

即AC⊥BD，

所以平行四边形ABCD是菱形；

ii:关注Rt△ABO和Rt△AEO.

因为AP，BO都是△ABC的中线，

所以点E是△ABC的重心，

所以BE=2EO，设EO=x，则BE=2x，

所以BO=3x，

则由勾股定理，得：

AB^2-BO^2=AO^2=AE^2-EO^2，

因为AB=5，AE=CE=3，

所以25-9x^2=9-x^2，

整理，得：8x^2=16，x^2=2，

所以x=√2，

所以BD=2BO=6x=6√2；

（2）如图，考虑到“同圆半径相等”，连接AF，BF.则

AF=AE，BF=BE，

所以AB垂直平分EF，

连接AC交BD于O，

则BO是△ABC的中线，

又AP也是△ABC的中线，

所以点E是△ABC的重心，

所以CE平分AB，

所以AB和EF互相垂直平分，

所以四边形AEBF是菱形，

设CF交AB于G，

则EG=CE/2=√2AE/2，

又∠AGE=90°，

所以AG=EG，

所以AG=FG=BG=EG，

所以四边形AEBF是正方形，

所以AB=√2AE，

在Rt△BEP中，

BE=AE，PE=AE/2，

所以BP=√(AE^2 PE^2)

=√(AE^2 AE^2/4)=√5AE/2，

所以BC=√5AE，

所以AB/BC=√2/√5=√10/5.

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