中考数学抛物线最值（怎么快速求解抛物线上的面积最值）

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正方形与等边三角形的外接圆是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4,3)，D是抛物线y=-x^2 6x上一点，且在x轴上方，求△BCD面积的最大值。

解题过程：

过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥BC所在直线于F，并延长交x轴于点G

根据题目中的条件：点C的坐标为(4,3)，则OE=4，CE=3；

根据勾股定理和结论：CE⊥OA，OE=4，CE=3，则OC=5；

根据菱形的性质和结论：四边形OABC是菱形，则OC=BC，BC∥OA；

根据结论：OC=5，OC=BC，则BC=5；

根据平行线的性质和结论：BC∥OA，DF⊥BC，则DF⊥OA；

根据平行线的判定和结论：DF⊥OA，CE⊥OA，则FG∥CE；

根据平行四边形的判定和结论：FG∥CE，BC∥OA，则四边形FGEC为平行四边形；

根据平行四边形的性质和结论：四边形FGEC为平行四边形，CE=3，则FG=CE=3，即点F的纵坐标为3；

设点D的纵坐标为d

根据题目中的条件：点D的纵坐标为d，点F的纵坐标为3，则DF=|d-3|；

根据三角形面积公式和结论：DF⊥BC，DF=|d-3|，BC=5，则S△BCD=BC*DF/2=5/2|d-3|；

所以，当|d-3|取得到最大值时，S△BCD取到最大值；

​根据题目中的条件：抛物线：y=-x^2 6x，则顶点坐标为(3,9)；

当点D运动到抛物线顶点的位置时，d=9，|d-3|取得到最大值6；

根据结论：S△BCD=BC*DF/2=5/2|d-3|，|d-3|最大值=6，则S△BCD最大值=15。

解决本题的关键是根据菱形的性质和题目给出的点坐标求得菱形的边长，用动点的纵坐标表示出三角形的底边和高，再根据抛物线的解析式确定出三角形面积取得最值时得动点坐标，就可以求得题目需要的值。