数学思维拔高题技巧（数学专题秒杀解题思路）

圆中有关计算

1.能通过把一个圆n(n≥3)等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形；

2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算；

3.掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．

1. 正多边形和圆的中心、正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.弧长和扇形面积公式，准确计算出弧长和扇形的面积；

2. 正多边形与圆的关系及正多边形的性质、会利用圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积.

要点集结

正多边形

1.正多边形的有关概念

（1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等.

（2）正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

（3）正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.

（4）正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距.

（5）中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角.

2.正多边形的对称性

（1）正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形.一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；

（2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心.

3.正多边形的有关计算

（1）正n边形的内角和为（n-2）×180°

（2）正n边形的每个内角都等于，中心角等于

（3）正n边形的外角和为360°，每个外角等于

《典例1》.下列说法正确的是（ ）

A.平行四边形是正四边形 B.矩形是正四边形

C.菱形是正四边形 D.正方形是正四边形

【答案】D

【精准分析】各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.平行四边形各边各角都不定相等，所以不是正四边形；矩形各角相等，但是各边不一定相等，所以也不是；菱形各边相等，而各角不一定相等，所以菱形不是正四边形；正方形各边各角都相等，所以是正四边形.

故选D.

练习1.下列命题中正确的是①矩形是正多边形；②边数相等的正多边形旋转角相同；③正多边形的边相等；④正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（ ）

A. ①③④ B. ②④ C. ②③ D. ①②③④

【答案】C

【精准分析】各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形各角相等，但是各边不一定相等，所以不是，故①错误；④正偶边形是中心对称图形,正奇边形不是中心对称图形，故④是错误的.②③是正确的.故选C

练习2.已知一个正多边形的一个内角是120°，这个正多边形是正几边形？

【答案】六

【精准分析】根据正多边形的每个内角是120度，则每个外角是60度，360÷60=6,所以是六边形.

根据正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.去判断是否是正多边形以及是正几边形.

《典例1》.正五边形有（ ）条对称轴.

【答案】5

【精准分析】根据正多边形的边数决定对称轴的条数.

练习1.一个正多边形有8条对称轴，那么它是正（ ）边形.

【答案】八

【解析】根据对称轴的条数=正多边形的边数.

正多边形的边数与正多边形对称轴的条数是相等的；判断是否是中心对称图形，需要看正多边形的边的条数：偶数条，是中心对称图形；奇数条，则不是中心对称图形.

《典例1》.中心角是45°的正多边形的边数是__________.

【答案】8

【精准分析】因为正n边形的中心角为，所以45°=，所以n=8

练习1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.

【答案】5

【精准分析】因为正n边形的外角为，一个内角为，

所以由题意得=·，解这个方程得n=5.

练习2.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_______度.

【答案】144

【精准分析】∵中心角是36°，∴，，180°-36°=144°.

根据正多边形中心角的度数=正多边形每个外角的度数都等于，从而去判断是正几边形.

正多边形与圆

1. 圆内接正多边形：把一个圆分成n（n大于等于3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.这个圆是这个正多边形的外接圆；

2. 圆外切正多边形：把圆分成n（n大于等于3）等份，经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形是这个圆的外切正n边形.

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