立体几何证明经验（立体几何垂直证明的六大绝招）

六大绝招

类型一

利用已知垂直关系证垂直

例题：已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC

证明：

∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC

又∠ACB=90° ∴AC⊥BC

又AC，SA⊆面SAC ∴BC⊥面SAC

∴BC⊥AD

又AD⊥SC

且BC，SC⊆面SBC

∴AD⊥面SBC

变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC

类型二

利用等腰三角形中线证垂直

例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB

证明：

取AB的中点M，连接PM，CM

∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM

∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM

∴AB⊥面PCM

∴AB⊥PC

变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD

类型三

利用勾股定理逆定理证垂直

例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD

证明：

∵PA=4，AB=3，PD=5

∴PA2 AB2=PD2，

∴三角形PAD是直角三角形，

∴PA⊥AD

又PA⊥CD，

∴PA⊥面ABCD

变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD

类型四

利用三角形全等证垂直

例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC

证明：

取AB的中点M，连接CM，

∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA

又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°

∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC

∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，

∴CM⊥AB

又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB

∴AB⊥面PMC

∴AB⊥PC

变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF

类型五

利用平行关系证明垂直

例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD

证明：

分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA

∵MN为△PCD的中位线，

∴MN∥CD且MN=1/2CD

又∵E是AB的中点，

∴AE∥CD且AE=1/2CD

∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，

且∠PDA=45°，∴△PAD是等腰直角三角形

又N是PD中点，∴AN⊥PD

∵四边ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，又PA⊥CD，

∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，

又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD

又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD

∵EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD

变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2，证明CD⊥面A1OC.

类型六

利用向量数量积证明垂直

例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。

证明：

取BC得中点O，连结PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：

变式：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D是CC1的中点，求证：AB1⊥面A1BD

常见的平面图形垂直模型

1. 等腰三角形的中线垂直底边

在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则有：AD⊥BC

2. 勾股定理的逆定理得到垂直

在三角形中，如果AB2 BC2=AC2，则有：AB⊥BC

3. 菱形的对角线互相垂直

已知四边形ABCD为菱形，两条对角线AC与BD相交与点O，则有：AC⊥BD

4. 矩形内部线段存在的垂直关系

四边形ABCD为矩形，如果AD:DE=AB:AD，则有：BD⊥AE

5. 直角梯形内部线段存在的垂直关系

a. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD:DC=AB:AD，则有：BD⊥AC

b. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD=DC=m，AB=2m，则

有：AC⊥BC

6. 等腰梯形内部线段存在的垂直关系

四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥DC，AD=BC，CE为等腰梯形ABCD的高，若CE=1/2(AB CD)，则有：AC⊥BD

7. 圆的直径所对的圆周角为90°

AB为圆O的直径，C为圆上任意一点，则有：AC⊥BC

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