高中立体几何面到面的距离怎么求（一道高中立体几何题-求点到平面的距离）

一道高中立体几何题-求点到平面的距离

在一个4x4x3的矩形的多面体中， 顶点A，B，C与顶点D相邻， 求顶点D到ABC所在的平面距离。

解法1： 如图做三角形ABC底边BC的高AE， 连接DE，那么在直角三角形ADE斜边AE的高DF就是点D到平面ABC的距离，这是因为BC同时垂直于ADE平面上的两条直线AE和AD， 那么BC也垂直于DF， 而DF垂直于AE后， 就垂直于平面ABC。

在三角形ABC中， 可以知道AB=AC=5， 这是因为ADC是直角三角形，两个直角边为3和4， 则斜边AC=5.

而BC=4√2， 那么EC=2√2

因而在等腰三角形ABC中有底边的高AE，在直角三角形AEC，利用勾股定理可以求出：

AE=√17

现在回到三角形AED， 这是一个直角三角形， 两个直角边分别是AD=3， ED=BC/2=2√2,

并且知道斜边AE=√17，

那么利用面积方法，可以求出斜边的高DF，

因为DF·AE=AD·DE

最后求得：

解法2: 利用空间解析几何的知识， 若设点D的坐标为原点，即D（0,0，0）那么A（0,0,3）， B（4, 0， 0）， C（0， 4， 0）， 那么A， B， C三点的平面方程为：

这是截距形式， 化为一般形式为：

根据空间点（a, b, c）到平面

的的距离公式：

对于ABC这个平面方程， A=3， B=3， C=4， D=-12.

将点D带入上面的公式，因为D为原点，所以a=b=c=0, 最后求得距离：