三角形几何题及答案（考验想象力创造力）

题目：

正▲DEF是正▲ABC的内接三角形，G 是DF的中点，延长BG交AC于H.证明：BG=GH

知识点回顾：

1. 等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
2. 等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。（三线合一）
3. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。
4. 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
5. 等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）
6. 等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）

1. 三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
2. 三个内角都相等的三角形是等边三角形。
3. 有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
4. 两个内角为60度的三角形是等边三角形。

1. 平行四边形的两组对边分别相等
2. 平行四边形的两组对角分别相等
3. 平行四边形的邻角互补
4. 夹在两条平行线间的平行四边形的高相等。
5. 平行四边形的对角线互相平分
6. 连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
7. 平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
8. 过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
9. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

粉丝解法1：

因为g是d f的中点。所以过g点作bd的平行线，交于bf于o点，所以o是b f的中点。同理过g点作h c的平行线交于i点，这样所形成的三角形。go i为小等边三角形。根据知条件三角形bd f。全等于三角形。af c。所以bd是等于fc。所以小等边三角形的边长正好是fc的一半。因为o是b f的中点。所以bo oi=fo-oi fc，所以i是bc的中点，这道题也就迎刃而解了。

粉丝解法2：

易证△BDF≌△CFE

得BD＝CF

取BF、BC中点M连接GM，则GM∥BD，＜GMC＝60°

GM＝1/2BD

过G点作GN∥CH，则

＜GNB＝60°，GN＝1/2CH，

∴△GMN为正△

∴△CFH为正△

FH＝FC＝BD，FH∥BD

连接DH、FH

则BDHF为平行四边形

∴BG＝GH

粉丝解法3：

过D，G，F做AC边垂线，可证G到AC距离等于D和F到AC距离和的一半，而D和F到AC距离和又为正三角形的高，即G的AC距离等于B到AC距离的一半，从而可证BG＝GH。

粉丝解法4：

过G点分别作AB与AC的平行线，分别与BC的交于点M和N，L是FC的中点，FL=LC,可以证明△GMN是正三角形，又因为GD=GF,可以得出MN=GM=1/2BD，BM=MF,因为可证得DB=FC,可以推得BN=CN,在△BHC中，BG=GH

粉丝解法5：

粉丝解法6：

S△AGB＝1／2S△AFB，S△CGB＝1／2S△CDB，又S△AFB＋S△CDB＝S△AFB＋S△AFC＝S△ABC，从而S△AGB＋S△CGB＝1／2S△ABC，从而可证S△AGC＝S△ABC－（S△AGB＋S△CGB）＝1／2S△ABC，从而BG：GH＝（S△AGB＋S△CGB）：S△AGC＝1：1。

粉丝解法7：

过G分别作AB，CD平行线分别交BC于M，N。易知△GMN为正三角形，GM＝MN＝1／2BD＝1／2CF，易知N为BC中点，可得G为BH中点。

粉丝解法8：

首先，根据对称关系，很容易知道

BD＝FC，(根据△CEF≌△BFD也能知道)

以B为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，设C(2，0) A(1，√3)

lAC：y＝-√3(x－2)………………①

设|CF|＝|BD|＝a

则F(2-a，0) D( a/2，(√3a)/2 )

G( (4-a)/4，(√3a)/4 )

lBG：y＝[(√3a)/(4－a)] x………………②

①②联立解得

xH＝(4－a)/2

因为B，G，H三点共线

xB＋xH＝2xG

所以，G是BH中点，BG＝GH得证