费马点定理详细证明 用全等旋转解

费马点几何极值问题最早由 17 世纪法国律师 (业余数学家) 费马提出，并在写给意大利物理学家托里拆利的私人信件中请教了这个问题。托里拆利最先解决了这个问题，之后又由 19 世纪瑞士数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，故费马点也称之为 托里拆利点 或 斯坦纳点，相关问题也被称作 费马 - 托里拆利 - 斯坦纳问题。

费马、托里拆利、斯坦纳

费马点 的定义：到三角形三个顶点的距离之和最小的点 (也可以定义为：到不共线三点的距离之和最小的点)。

ΔABC 的费马点

费马点的解法有很多，下面和大家分享一种利用 全等旋转 解三角形费马点的几何方法。为了简化费马点的讨论范围，需要说明以下三点：

1. 费马点不在三角形的外部

三角形的外部区域被三角形三边所在直线分成六个区域，这六个区域可分成两类进行讨论，一类是两边界区域 (下图左侧点 P 所在区域)，另一类是三边界区域 (下图右侧点 P 所在区域)。

费马点不在三角形的外部

对于 ΔABC 外部任意一点 P 都可以在三角形上找到这样一点，它到三个顶点的距离之和 < 点 P 到三个顶点的距离之和，所以费马点一定不在三角形的外部。

2. 费马点不在除顶点之外的边上

费马点不在除顶点之外的边上

对于 ΔABC 边上除顶点之外的任意一点 P 都可以在三角形内部找到这样一点，它到三个顶点的距离之和 < 点 P 到三个顶点的距离之和，所以三角形的费马点一定不在除顶点之外的边上。

3. 费马点不是锐角对应的顶点

在三角形中，锐角长邻边上的垂足到三个顶点的距离之和 < 该锐角的顶点到三个顶点的距离之和，所以三角形的费马点为某个顶点时，该顶点对应的内角一定不是锐角。

有了上述三个结论，我们接下来只需讨论三角形内部的点和最大内角对应的顶点就可以了。根据三角形最大内角的角度，费马点的位置分为两种情况，下面将依次说明并证明。

1. 三角形的内角 < 120° 时，费马点为其正等角中心

正等角中心：分别以 ΔABC 的三边为一边向外作正三角形 ΔA'BC、ΔAB'C、ΔABC'，则直线 AA'、BB'、CC' 共点于 ΔABC 的正等角中心。

三角形的正等角中心

1.1 证明直线 AA'、BB'、CC' 三线共点

证明 “直线 AA'、BB'、CC' 三线共点” 等价于证明 “点 A、P、A' 三点共线”，其中点 P 为直线 BB'、CC' 的交点。

证明直线 AA'、BB'、CC' 三线共点 - 1

证明直线 AA'、BB'、CC' 三线共点 - 2

由上述证明还可以得到以下结论：ΔABC 的内角 < 120° 时，其正等角中心对三边 AB、BC、CA 的张角同为 120°；线段 AA'、BB'、CC' 的长度相等；三边上外展正三角形的外接圆 (托里拆利圆) 也共点于正等角中心 。

AA' = BB' = CC'

三边上的 “托里拆利圆” 共点于正等角中心

1.2 证明费马点为正等角中心

证明思路：通过 全等旋转 把三条线段 PA、PB、PC 拼接成一条折线，再根据 两定点之间线段最短 得出结论。

点 P 为 ΔABC 的正等角中心时，PA PB PC = AA' = BB' = CC'

ΔABC 的正等角中心到三个顶点的距离之和 = AA'

点 P 为 ΔABC 内任意一点时，PA PB PC ≥ AA' = BB' = CC'

ΔABC 内任意一点到三个顶点的距离之和 ≥ AA'

点 P 为 ΔABC 边上任意一点时，PA PB PC > AA' = BB' = CC'

ΔABC 边上任意一点到三个顶点的距离之和 > AA'

由上述证明可知：三角形的内角 < 120° 时，费马点为其正等角中心。

2. 三角形有内角 ≥120° 时，费马点为该钝角对应的顶点

为了论述方便，不妨设 ΔABC 中 ∠A ≥ 120°。

2.1 证明 ∠A = 120° 时，费马点为顶点 A

利用第一种情况 (三角形的内角 < 120° 时) 的结论，可轻松证明此时三角形的费马点为顶点 A (∠A = 120°)。

∠A = 120° 时，ΔABC 的费马点为顶点 A

2.2 证明 ∠A ≥ 120° 时，费马点为顶点 A

同样用 全等旋转 证明，但需要注意的是旋转角已不再是 60°，而是 180° - ∠A，因为 ∠A ≥ 120°，所以旋转角 ≤ 60°。通过 全等旋转 和 大角对大边定理，最终把三定点问题转化为两定点问题来解决。

点 P 为 ΔABC 内任意一点时，PA PB PC > AB AC

ΔABC 内任意一点到三个顶点的距离之和 > AB AC

点 P 为 ∠A 邻边上任意一点时，PA PB PC ≥ AB AC

∠A 邻边上任意一点到三个顶点的距离之和 ≥ AB AC

由上述证明可知：三角形有内角 ≥ 120° 时，费马点为该钝角对应的顶点。

至此，利用 全等旋转 解三角形费马点的几何方法已分享给大家。数学物理是一家，下面再介绍一下费马点的物理解法。

费马点的物理解法

在光滑的亚克力板上画出 ΔABC，在每个顶点的位置钻一个光滑的小孔，将三条细绳（不计绳重）分别穿过这三个小孔，三条细绳的一端系在一起（绳结稍大于小孔孔径，其平衡位置记为 P），另一端分别固定质量为 m 的小球, 此时绳结到球心的长度分别记为 LA、LB、LC，不考虑摩擦力， 以亚克力板所在水平面为参考面，三个小球的总重力势能 Ep 可表达为：

Ep = mg((PA PB PC) - (LA LB LC))

很明显，绳结到三个顶点的距离之和 PA PB PC 最小时，三个小球的总重力势能 Ep 最小，此时绳结受力平衡，其所在位置 P 即为 ΔABC 的费马点。

用物理法定位三角形的费马点

因为三个小球的质量相等，所以三球平衡时三条绳上的张力大小也相等。若绳结只受三条绳的拉力作用，此三力平衡时应符合三阶旋转对称，即互为 120° 夹角。

三球平衡时，绳结受力分析

当 ΔABC 的内角 < 120° 时，绳结在三条绳的拉力下会自由地平衡于 ΔABC 的正等角中心；当 ΔABC 的某一内角 ≥ 120° 时，绳结会卡在该钝角对应的小孔处，并最终在四个力的作用下达到平衡 (三条绳的拉力和小孔的支持力)。

读者朋友们，我们周边还有哪些事物与费马点相关呢？赶紧留言讨论吧，最后谢谢大家的阅读和支持 ^_^

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