多元函数的极值以及求法试题（用拉格朗日乘数法来求多元函数的极值）

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数条件极值的重要方法，当高等数学的一些知识下放到高中阶段时，此时用高等数学里面的一些知识来去解决高考试卷中的相关试题，那么就会非常简单，可以称为狂暴秒杀解题。

一、何谓条件极值

二、条件极值的必要条件

三、 Lagrange乘数法是如何运用的？

四、具体题目分析

第一类：如何用拉格朗日乘数法求解不等式恒成立问题

第二类：多元函数的有条件最值

例6、设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？

例7、

例8、设x，y为实数，若设x，y为实数，若4x^2 y^2 xy=1， 则2x y的最大值是 ．（2011年高考浙江卷理科16）

总结：用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的解题步骤：

1、构造拉格朗日函数；

2、对于各个分量求偏导数，并令各偏导数为0,求解方程组的解；

3、判断是否有最值，若存在，则所得即为所求.

温馨提示：多元函数的偏导数怎么求？

类似控制变量法，即，将其他变量看作常数，对所研究主变量求导.

第三类：多元函数的无条件最值

例9、

例10、

例11、 （2010年高考重庆市理科7） 已 知x>0，y>0，x 2y 2xy=8， 则x 2y的最小值是：