五年级奥数质数与合数竞赛题（公约数与公倍数）

例1：1． 两个自然数的最大公约数4，它们的最小公倍数的是120，那么这两个自然数的和可能是（ ）。（有多少填多少）

例2：两个自然数的差是55，它们的最大公约数与最小公倍数的和是275，那么这两个自然数的和是（ ）。

给大家一点时间思考。

此类题很多同学都能做一点，但做的完全对的不多，因为在我们的思维中还没有形成完整的推理逻辑，下面讲解一下例题。

例1：

解：设两个自然数为aq、bq（中间乘号省略、q为非0、1的自然数，a与b互质）

这样设的好处：直接设出了最大公约数，即b，而最小公倍数也很容易表示：abq；

根据题目条件，我们知道q=4，abq=120，进而推出ab=30；

再考虑到a与b互质，可以知出下面几组不同结果：

a=1，b=30；推出两数分别为4、120；

a=2，b=15；推出两数分别为8、60；

a=3，b=10；推出两数分别为12、40；

a=5，b=6；推出两数分别为20、24。

所以一共有四个答案！

a=30，b=1；推出两数也分别为4、120，故不考虑这种重复的情况！

此题较为简单，属入门题！

但也需要我们会设，正确的假设，这题就做出了一半！

例2：

同样，我们设两个自然数为aq、bq（中间乘号省略、q为非0、1的自然数，a与b互质，且a>b）

根据题目条件：

aq-bq=55；两自然数的差为55；……1式

q abq=275；最大公约数与最小公倍数的和是275……2式

将两式做变换，提出公因数q：

q(a-b)=55；……3式

q(1 ab)=275；……4式

观察3式和4式可知，q为55和275的公因数，是不是最大暂时无法确定，那么，我们先求了下55和275的公因数：

所以，我们可知，55和275的公因数有三个，即q=5、11和55。

此时我们就要进行严谨的逻辑分析：

A. 当q=5时：a-b=11；1 ab=55即ab=54；

此时，我们先考虑ab=54中a与b的可能性：（注意，我们假设的是a>b）

a=54，b=1；

a=27，b=2；

a=18，b=3；

a=9，b=6。

这四组可能中，均没有符合条件a-b=11的，所以q不可能为5。

B. 当q=11时：a-b=5；1 ab=25即ab=24；

同理，我们先考虑ab=24中a与b的可能性：

a=24，b=1；

a=12，b=2；

a=8，b=3；

a=6，b=4。

此时，我们发现，只有第三组，即a=8，b=3时，符合a-b=5，所以题目所求的两个数可能是：

aq=88，bq=33。

C. 当q=55时：a-b=1；1 ab=5即ab=4；

同理，我们先考虑ab=4中a与b的可能性：

a=4，b=1；

不符合条件a-b=1，所以q不可能为55

此类题目需要同学有严谨的思维！再出个海盗分金的题目我们练习一下：

经济学上有个“海盗分金”模型：

是说5个海盗抢得100枚金币，每一颗都一样的大小和价值。

他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票有超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。

假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”

当然，海盗分金还有一种题目：

5个海盗抢到了100枚金币，每一颗都一样的大小和价值。

他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票有半数或超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。

假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？

两题的区别在于第一个是超过半数才能通过，第二个是半数也可以通过！

聪明的朋友们，是你的话你怎么分金币，看看你们的逻辑性如何？希望留下你们的评论！

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