大学物理向心加速度的推导过程（教研分享系列124向心）

一、变速圆周运动中的向心力与切向力

在变速圆周运动中，合外力一定不指向圆心，教材把合外力进行了正交分解，一个

沿半径方向指向圆心，一个垂直于半径而沿切向方向，前者称为向心力，后者称为切向力。

二、变速圆周运动中的“两个”加速度

根据牛顿第二定律所谓的独立性，每个力都有属于自己的加速度。变速圆周运动中提出了向心力和切向力，而且两力为合力正交分解得到的两个分力，那么就很自然地生成了向心加速度和切向加速度两个概念。

三、向心加速度与切向加速度的物理意义

①教材中的表述

04版教材的表述：切向加速度标志着速度大小的变化，向心加速度其表现是速度方向的改变。

注意到 19版教材做了些许调整，从绘图及其说明来看，图跟04版是一样的，但其说明停留于“示例”层次，没有上升到“理论”层次；从正文来看，没有出现向心加速度和切向加速度概念，但依然有这样的表述：“Ft与沙袋运动的速度同向，使得沙袋的速度越来越大；Fn改变沙袋速度的方向。”

③实际教学中常见拓展

根据教材表述，有些教辅资料指出：向心加速度反映了速度方向变化的快慢；切向加速度反映了速度大小变化的快慢。这种表述不妨称之为两个加速度的具体物理意义。那么如此确立两个加速度的物理意义严谨吗？从逻辑演绎角度存在什么问题呢？到底应该怎样理解两个加速度？关于这些问题，号主尝试着探讨，以期抛砖引玉，或期待大方之家批评指正。

四、物理意义定量探讨

①速度方向改变快慢的定量计算

在圆周运动中，什么量用来定量表示速度方向改变的大小呢？注意到，当圆周运动的半径不变时（半径改变了，就不是圆周运动），半径转过的角度和速度方向转过的角度相同，即圆心角＝偏向角。由此可见，若用偏向角来表示速度方向的改变大小，那么表示速度方向改变快慢的正是角速度，而非其它。然而，可资证明：向心加速度大小＝线速度大小×角速度大小。可见，用偏向角（圆心角）表述速度方向变化的大小是不合适的，用角速度表示速度方向变化的快慢自然也不合适，那么用什么表述速度方向变化的大小，又用什么表示速度方向变化的快慢呢？没有前面问题的思考，直接用向心加速度表示速度方向变化的快慢似乎是“强盗逻辑”——缺乏逻辑推演方面的依据。

②速度大小改变快慢的定量计算

从单位制这个角度而言，用速度大小改变量÷发生这一改变的时间来表示速度大小改变快慢是合适的；但是从“矢量”视角，速度大小改变的快慢显然是一个标量，用一个标量直接表示为有方向的加速度，即切向加速度，这也是缺失了逻辑推演方面的依据。

③特例中的定量计算

设一个物体放在水平转台上，相对转台静止，若转台角速度从零均匀增大，设角加速度为β，则有速度大小变化快慢＝βr，即切向力Ft＝mβr，向心力Fn＝mββrtt=Ft×βtt，即切向力大小不变，向心力与时间的平方成正比，即随着时间增大而增大。由此可见，向心力与切向力具有一定关联性，因此向心加速度与切向加速度也有一定关联性，不是两个互相独立的“实际”作用效果。

④结论

结论1 从基本概念的定义来看，加速度反映的正是速度（这个矢量，同时包含大小、方向两个性质）的变化快慢。从这个意义上而言，再分别“定义”速度方向改变的快慢、速度大小改变的快慢，不免产生逻辑推演上的不自洽。从这个意义上而言，不宜“深度”追问向心加速度和切向加速度的具体物理意义。

结论2 匀速圆周运动中，即速度大小不变，方向时刻改变，合外力一定指向圆心，即为向心力；变速圆周运动中，即速度大小和方向都时刻改变，合外力一定不指向圆心。两相比较，提出向心力和切向力概念，有利于形成相互作用与运动观。从这个意义上，实际教学中懂得“浅尝止之”，也是非常重要的原则。19版教材不再明确区分向心加速度和切向加速度概念，估计就是基于这样的思考。