费马定理的具体证明（费马定理光走更长的路反而时间更短）

生活中我们为了更快的到达目的地，最好的办法是沿着自己与目的地之间的直线连接行走，这样的路程是最短的，因此花的时间也是最少的，这个道理我们都懂，但是我们从光的传播中却得到一个这样的结果：路程最短，时间却不一定最短。这不是与我们的现实生活相矛盾吗？在揭示这种现象时，我们先了解下面的一些知识。

我们知道光在同一个介质中是沿直线传播，这里强调一下是在同一介质下。那么当一束光经过不同的介质时，就会在介质之间发生折射或者反射。折射过程中，角度也会发生偏折。下面这张图就是光在水面上的反射和折射示意图。

之所以光在不同的介质中传播会发生偏折是因为不同介质的折射率不一样，折射率是与物质本身有关系的一个物理量，我们用字母n来表示，折射率的大小会影响光速的大小，折射率与光速有着下面的关系：

光在真空中的速率大约30万公里每秒，这是固定不变的，假如光在玻璃中的传播速度为20万公里每小时，那么代入这个公式我们就能得到玻璃的折射率为1.5。那么讨论这个折射率又有什么意义呢？

其实，这个折射率和光在玻璃中的偏折角度密切相关，折射率越大，折射的光偏离原来路线的程度就越大。我们一般将空气的折射率 n空气=1，因此光在空气中的传播速度接近光速，假设玻璃的折射率

n玻璃=√3，那么光从空气中传入玻璃中它们之间的角度就会存在下面这个关系：

因为空气的折射率一般看作1，n1=1，因此就会有

当入射角为60⁰时，假设玻璃的折射率为√3，那么带入这个公式就会得到折射角为45⁰，光路如下图：

上图就是这束光的路径，假如我们把发射光线的点作为起点，穿出玻璃的那个点作为终点，它这样走的时间会是最短的吗？我们来就来分析一下。

我们假设三种路径从A点到B点。

你是否觉得从A点直接到B点距离最短，也就是方案③时间也会最短呢？

但是你忘了，玻璃中光的速度是更慢的，这条直线虽然总路程是最短的，但是，玻璃中传播的距离变长了，因此时间不一定是最短的，而第①种方案虽然玻璃中的路径变短了，但是空气中的却变长了。那么哪一条线路是最短的呢？

我们可以对这个入射点的位置设一个未知数，分别计算在空气中所用的时间和在玻璃中所用的时间，于是可以得到一个总时间关于X的函数。

c和n都是常数，因此可以得到t与x的函数关系，通过他们之间导数的变化于是可以求到一个t最小时的x值，当你计算完就会发现，X=10√3万公里，这个点就是下图的C点，没错，也就是路线②走的时间是最短的，大约3.41s。

经过小编计算（过程就省略了）

线路①需要4.6s

线路②需要3.41s

线路③需要4.5s

因此线路②是用时最短的。

从这个现象我们知道了，距离最短不一定时间最短，光路不管在什么情形下，遵循的是时间最短原理，而不是空间最短原则。

从这个现象延伸到我们的生活中

假如我们开车从从平坦的平地到泥泞的土地中，泥路中的速度相对较慢，因此我们从平坦地的A处到泥泞的B处用时最少的不是直线距离，而是C与D之间的某个点，这个点在哪里，可以通过平坦路段与泥泞路段之间的距离计算出来。

是不是觉得自然现象真的是很奇妙呢？

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