大数定律背后是什么道理（我们该怎么认识大数定律）

在我们认知地图里面有一个定律非常的重要，可以给我们的生活很多有价值的指导，它就是大数定律。这个大数定律也是现代统计学之所以是科学的基础，今天咱们就聊聊这个大数定律。

1.什么是大数定律

“大数定律”，是说只要一件事情发生的次数足够多，它出现某一个结果的频率，就会等于概率。正因为有大数定律，我们才可以对事物发生的频率做出判断，我们才能通过频率去推测理论上的概率。如果没有大数定律，所有的随机实验、一切通过统计发现事物背后规律的努力，就将变得没有意义。大数定律又被称为“黄金定理”，它让我们真正能用整体的确定性来对抗局部的随机性。

大数定律是由雅各布·伯努利花了20年的时间，基本证明了这个“不言自明”或者说“显而易见”的结论，之所以说他基本上证明了，是因为他职证明了随着试验的数量越多，频率接近真实概率的可能性越大。他没完成的部分，由前苏联数学家、概率论的先驱柯尔莫哥洛夫在雅各布的基础上，做出了更加严密的证明。

2. 现实中的数据都是局部数据

大数据定律想要真正起作用有个限制条件，只有在数据无限的情况下，随机事件发生的频率才等于它的概率，试验次数无限是个数学概念，现实中不可能有无限存在的。当数据量很少的时候，一件事发生的频率可能和它的真实概率相差很大。

比如如果你有一个完美的硬币，你抛硬币得到正面朝上的概率，就是严格的 50%。可是在实际操作之中，你抛 10 次，可能得到 3 次正面，7 次反面。为什么正面向上不是 50%呢？大数定律说那是因为你抛的次数不够多，如果你抛一万次，得到正面的频率就会非常接近 50%。

再比如，历史上英国和法国曾经共同研制了一款超音速客机，叫“协和式客机”，1976年投入使用，协和式客机不仅拥有当时最高级别的安全设计，还有当时最高级别的安全保障，在长达24年的飞行中，它没有发生过一起致死事故，一度被认为是世界最安全的飞机。直到2000年7月25日，协和式客机出现了一次坠机事故，协和式客机总共飞行了八万多次，就是因为这一次坠机事故，它的致死事故率立即从24年来的0上升到了八万分之一，变成了世界上最危险的飞机，后来这款飞机就被停飞了。

这款飞机真的这么不安全吗，其实不一定，因为协和式客机的飞行数据太少了，只有区区八万次，它出事故的频率和真实的事故率之间，可能有很大的误差。而这个误差到底有多大呢？那次失事是意外，还是飞机的设计真的有缺陷？八万分之一的致死事故率到底比真实概率大，还是比真实概率小？这些我们都无法知道，因为没办法让协和式飞机再飞一亿次了。

3.大数定律和“均值回归”

均值回归的意思是说，如果一个数据和它的正常状态偏差很大，那么它向正常状态回归的概率就会变大。大数定律不会对已经发生的情况进行补偿，而是利用大量的正常数据，削弱那部分异常数据的影响。正常数据越多，异常数据的影响就越小，直到小到可以忽略不计。打个比方，把一勺糖放在一杯水里，你会觉得很甜，可是放到大海里味道几乎不会有任何改变。就像网上的段子说的五块钱的玛莎拉蒂跑车的优惠券一样。

比如说一位企业家非常厉害，又有钱又有名，可是他的孩子却没有他那么厉害，是个很普通的人，这个现象就是回归均值。

为什么会回归均值？不是说这个企业家把他家族的运气都给花光了、妨碍了他儿子的发展，也不是说什么冥冥之中自有天意，要求一个家庭不能把风光占尽 —— 这纯粹是一个数学现象，根本原因仅仅是厉害人物的养成需要很好的运气配合，而好运气没有那么容易发生！

明白了这个道理，再去审视我们的生活，很多现象就好理解了。比如我们经常会说一些俗语，运气不好的时候，会说“三十年河东，三十年河西”；打牌或者玩游戏连着输的时候，会说“否极泰来”。极度的坏运气过后不一定就有好运气，而是通过均值回归，让运气回到不那么坏的正常状态。

参考资料：

得到app《刘嘉·概率论22讲》《吴军·数学通识50讲》《万维钢·精英日课》。

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