与数学有关的一句话（数学的自洽）

今天来说说数学的“自洽”。

数学世界的自洽应该是令人震撼和惊讶的，不知我们是否有这种想法，当我们用多种解法解答一道数学题时，各种解法的正确性是怎样独立保持的？似乎数学真理可以有多种不同的表达，几何直观和代数论证如何交相演绎出丰富的数学世界？

数学的正确性是分析性的。数学大厦只能以一些不言自明、无法证明的公理为基础构建，不同的公理就能构建出不同的“数学”，如欧式几何与非欧几何。在一个公理体系内，该体系是自洽的，定理之间是互不矛盾的，相关定理之间还有逻辑从属(推导)关系。

说一个公理系统是自洽的，就是在不考虑别的东西的时候，这个公理系统是相容的(能在系统内自圆其说)。但有可能出现虽然两个公理系统各自是自洽的，但是放在一起却不一致的情形。

公理系统还具有以下特点，就是对于任意一个系统中的命题 ,如果这个系统能够证明出 p,那么它就证明不出﹁p(非p)。也就是说，一个公理系统不能同时推出p和﹁p.

说一个公理系统是自洽的，也代表该系统下有“模型”。也就是说，存在一个模型使得这个系统中的定理全部都是真的，且推理规则(标准)全都是维持其正确性的。

模型的概念比较好理解，比如说三维线性空间加上欧式度量是欧几里得几何的一个模型；自然数是皮亚诺公理系统的一个模型；从广义相对论来看宇宙本身加上闵氏度规是黎曼几何的一个模型。

有趣的是，数学上的很多概念是各自发展，到后来才发现它们是相通的(都能统一在公理系统内)。比如对数运算和指数运算的发明。在历史上对数的发明是为了运算的简便，纳皮尔发明(为什么用发明不用发现,见数学是人类的“发明”还是“发现”?)对数是想创立一种运算规则使乘除能对应加减，而且当时没有从乘方运算升级的指数概念，所以纳皮尔是以运动观点的几何式描述来定义对数的(见自然对数的意义)。

1614年，纳皮尔发明了对数。

1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年。

1770年，欧拉才第一个指出对数源于指数，这时对数和指数已经发明一百多年了。

人类的直觉很多时候优于人类对知识系统的创建。这也难怪很多人会说“数学的尽头是哲学，科学的尽头是神学”。比如凭直觉就能感受是正确的“费马最后定理”，人类用了358年才将其证明。

看下面费马最后定理的介绍：

像物理中一个单位可以从不同方向导出(比如从力学和电学都可以导出能量单位焦耳)一样，数学中的很多公式定理也可以从不同方向导出，甚至有时候一些导出方法要绕很大一个“圈子”。

我们小学就知道的圆的周长公式l=2πr ,这个公式基于圆周率的定义，也很好理解。但若从微积分(见怎样理解定积分)方向得出这个公式却不简单。首先我们要知道平面曲线的长度计算公式(见如何计算函数图象的曲线长度)：

设y=f(x)的图象在区间[a,b]上的曲线弧长为s:

然后求函数y=√1-x² (图象就是半圆)在区间[-1,1]上图象的曲线长度l (你先得懂微积分的一大堆知识)：

等等，上述计算还要求反正弦函数的定义域是弧度制的，这就涉及到弧度的定义(见弧度制的意义)：

再等等，你还得知道

的原函数是y=arcsinx上述计算才能进行，这一点就够得解释：

要知道互为反函数的函数的求导法则：记y=f(x)的反函数为y=f⁻¹(x),则

这个很好理解：

这个在另一篇文章“为什么lnx求导是1/x?”中也有解释。

好了，我们知道x=siny的反函数是y=arcsinx所以：

然后，我们就能理解上述算法了，但这算法完全是小学生看不懂的。

数学公理体系是自洽的，然而对数学的描述往往是通俗性和严谨性无法兼具的。对一个数学公式的描述若足够简单，它就往往缺乏代数上的严密论证。就像上述圆的周长公式一样。如果小数书上就从第二种方法去论述圆的周长的计算，恐怕如高斯一样聪明的学生都得放弃数学。