线性代数复习串讲（线性代数选讲七）

特征值与特征向量通过相似矩阵的概念，在不同的基下，两个相似矩阵表示相同的线性变换这并没有告诉我们如何选择向量空间的基，使得线性变换具有比较简洁的矩阵表示例如，对角线矩阵，接下来我们就来聊聊关于线性代数复习串讲?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

线性代数复习串讲

特征值与特征向量

通过相似矩阵的概念，在不同的基下，两个相似矩阵表示相同的线性变换。这并没有告诉我们如何选择向量空间的基，使得线性变换具有比较简洁的矩阵表示。例如，对角线矩阵

类似于矩阵。

但很显然，比相比要简单得多。

特征值和特征向量定义背后的目的之一，是为了给我们提供挑选好的基础的工具。尽管如此，理解特征值和特征向量还有许多其他原因。

定义 令是一个线性变换。那么非零向量是的特征向量，标量是相应的特征值，若满足以下等式：

如果对于矩阵，非零列向量将是具有特征值的特征向量，若满足

从几何的角度来理解，线性变换对其特征向量进行了对应特征值的线性拉伸。如

幸运的是，有一种简单的方法来描述平方矩阵的特征值，这将允许我们看到矩阵的特征值在相似变换下保持不变

命题 标量是方阵的特征值，当且仅当其是以下多项式的根

多项式称为矩阵的特征多项式。

定理 设和为相似矩阵。那么，A的特征多项式等于B的特征多项式。

因为相似矩阵的特征多项式是相同的，这意味着特征值必须是相同的。

推论 相似矩阵的特征值相等。

如果要判断两个矩阵是否相似，可以通过计算来查看这些特征值是否相等。如果不是，则矩阵不相似。

通常情况下，具有相等的特征值并不强迫矩阵彼此相似。例如，矩阵和矩阵都有特征值1和2，但它们不相似。

由于特征多项式在相似变换下不变，因此的系数在相似变换下也不变。但由于的系数本身就是矩阵A的项的（复杂）多项式，我们现在有了A的项的某些特殊多项式，它们在相似变换下是不变的。我们已经看到其中一个系数以另一种形式出现，即A的行列式，如下定理所示。该定理将更重要地将A的特征值与行列式联系起来。

定理 设是矩阵的特征值，并多重计数，那么

这里，我们需要讨论“多重数”计算特征值的思想。困难在于多项式可以有一个必须不止一次计数的根（例如，多项式有一个我们想要计数两次的单根2）。这可能发生在特征多项式上。例如，假设矩阵的特征多项式为对于上述定理，我们将特征值列为4、5和5，然后将特征值5计算为两次

最后回到确定表示线性变换的“好”的基上来。良好的度量是矩阵与对角矩阵的接近程度。我们将把自己限制在一个特殊但非常普遍的类别：对称矩阵。

定理 如果是对称矩阵，那么有一个与类似的矩阵，它不仅是对角的，而且沿着对角线的各项正好是的特征值。

对于非对称矩阵，还有其他寻找“好的相似矩阵”的标准方法，如Jordan标准形式、上三角形式和有理标准形式。