微积分入门基本公式笔记(五分钟MIT公开课-多元微积分)
极坐标系的二重积分
考虑之前的例子:
这个函数的积分域为四分之一个圆
在直角坐标系下,计算这个积分并不容易,三角换元是已知的唯一解法。
可以用极坐标代替直角坐标。
先回顾下直角坐标系下的二重积分,积分结果几何上为积分函数和积分区域所围成的体积。积分区域可以无限划分为更小的区域。
极坐标下,二元函数的几何意义是相同的,即二元函数与定义域围成的体积。
将定义域直角坐标系的x和y分别替换成对应极坐标系的 r 和 theta,同理,定义域可以细分为无数的小块,先来计算每个小区域的面积。
注意不是:
当面积足够小时;
再来看看被积分的函数:
由于有直角坐标系和极坐标系的转换公式:
得到最后极坐标下的积分公式:
内积分:
外积分:
这个例子是幸运的,当从直角坐标系变换的极坐标的时候
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积分区域更加简单
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积分对象更加简单
但是一般来说,这种转换总会有牺牲的。
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积分区域不确定,大部分情况下,首先给定角度,对r做积分
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积分对象变复杂,因为引入了三角函数
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