解三角形的实际应用经典类型题（解三角形的实际应用）

【考试要求】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

【知识梳理】

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

【微点提醒】

1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

【考点聚焦】

考点一　求距离、高度问题

角度1　测量高度问题

【规律方法】

1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.

2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.

3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

角度2　测量距离问题

【规律方法】

1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

考点二　测量角度问题

【规律方法】

1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

考点三　正(余)弦定理在平面几何中的应用

【规律方法】

1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.

2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.

【反思与感悟】

利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.

【易错防范】

在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.

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