薛定谔推导量子方程的详细过程（量子场论的核心方程之一）

狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年推导出来，仅在薛定谔提出他著名的薛定谔方程两年后，该方程如今已成为量子场论的核心方程之一。

为了了解狄拉克方程，我们首先要了解他试图解决什么问题。要做到这一点，我们必须回到1905年，爱因斯坦用他的狭义相对论改变了世界。他提出了光速不变原理，光速是我们无法跨越的速度极限。此外，他将空间和时间统一起来引入了时空。他意识到，要描述接近光速运动的物体，我们必须将时空视为一个统一的实体。因此，我们必须平等对待空间和时间。

这是薛定谔方程问题的症结所在。如果我们看一下没有任何势力的薛定谔方程，也就是自由粒子的方程：

我们会看到在方程左边有一个关于空间的二阶导，由拉普拉斯算子表示。而在方程右边，我们有一个关于时间的一阶导数，因此薛定谔方程没有平等地对待空间和时间。这就是薛定谔方程不适用于描述时空的原因，因此也不适用于描述快速运动的物体。这意味着薛定谔方程无法与相对论方程兼容，不能正确描述接近光速运动的物体。

与薛定谔方程大约在同一时间，有一个量子方程可以兼容相对论，它就是克莱因-戈登方程。最初在1926年提出它可以描述电子，然而事实并非如此，我们发现的唯一遵从克莱因-戈登方程的粒子是希格斯玻色子。这个方程可以写成如下形式：

关于这个方程的重要一点是，现在时间是二阶导，空间也是二阶导。因此，该方程将空间和时间平等对待，所以它可以作为考虑时空的相对论方程。

然而，克莱因-戈登方程的问题在于它不能描述电子，它描述了自旋为0的粒子，如希格斯玻色子。克莱因-戈登方程的问题之一是它是二阶的。我们都知道，如果取一个实数并平方它，那么会得到一个正数。例如2的平方和-2的平方都等于4，但我们不知道最初哪个符号是正确的，因此我们会丢失信息。

事实证明，描述半整数自旋的粒子的方程是一阶的，因此关于时空只有一阶导数，而不是二阶导。然而这个二阶结果是相当自然的，因为在狭义相对论中能量本身的定义是二阶的。解决方案似乎很简单，我们只需对克莱因-戈登方程取平方根。然而事实证明，我们正在寻找的一阶方程实际上是一个具有虚数的复合方程，而克莱因-戈登方程只有实数分量。

这就是狄拉克方程的背景故事，让我们看看狄拉克是如何解决它的。正如我们已经意识到的那样，解决方案是以某种方式取克莱因-戈登方程的平方根。最初狄拉克提出了以下解决方案：

首先，这个方程有点像薛定谔方程，也有点像克莱因-戈登方程。因为在这种形式下，它基本上就是薛定谔方程和克莱因-戈登方程的平方根的杂交。在方程等号的左边，P表示的是动量算子，动量的定义是空间分量的一阶导数。在方程等式的右边，它看起来就像薛定谔方程，有时间分量的一阶导数。因此，在这个方程中，空间和时间都是一阶的，这正是我们需要的。这是狄拉克最初的提议，也是最初的狄拉克方程。

但是我们仍然没有真正解决这个问题，因为我们没有弄清楚β和α1、α2、α3的值应该是多少才能让方程起作用。事实证明，这两个参数是费米子方程的魔力。他们最终代表一个自旋向上和自旋向下的粒子，以及一个自旋向上和自旋向下的反粒子。因此，狄拉克用他的方程预测了反粒子。

最初没有人相信这样的反粒子，因此一致认为狄拉克方程是错误的。但是，仅仅几年后的1932年，正电子或反电子就被发现，完全符合狄拉克方程的预测。在现代，我们用所谓的伽马矩阵来编写狄拉克方程，可以通过求解β和α参数获得这些矩阵。

在这些伽马矩阵的帮助下，我们可以用更熟悉和紧凑的形式编写狄拉克方程，而无需这些神秘的β和α参数：

此外，这种写法没有Σ符号，利用爱因斯坦的规则“重复指标表示求和”，其中重复的是上指标和下指标μ。μ代表的是时空的每个分量：t和x、y、z分量。

狄拉克方程最重要的方面之一可能是对反物质的预测，这个方程后来成为QED基础的一部分，这是有史以来最好的量子场论之一。