指数函数求导公式证明（奇妙的联系自然常数e与指数函数求导）

这是《机器学习中的数学基础》系列的第12篇，也是微积分的第5篇。

今天我们来关注指数函数的求导，不过在此之前，先来看一个工业界和设计界都会用到的自然常数e，它也和指数函数有着密切的联系。

• 自然常数e

那么，什么是自然常数e？它的定义如下：

也就是说，当x趋于0时，上面式子的值就是自然常数e。好，现在我们把上式做一个变形，得到：

然后我们把1移到左边，两边再同时除以x，得到：

好，让我们记住上面这个（1）式，一会求导要用到它。

• 指数函数求导

接下来就进入正题了，我们要对指数函数求导。先举一个特殊的例子y=e^x，它的导数求出后，就可以推广到更一般的指数函数了。

根据导数的定义，我们给自变量x一个微小增量dx，可以得到：

我们把上式展开，然后把e^x提出来，就得到：

观察上式，你会发现e^x右边的那一堆，不就是我们的（1）式吗（这里dx趋于0）？而（1）式的值为1，因此y=e^x的导数就是它本身，e^x。

我们把这个特殊的例子搞定之后，再来看更一般化的指数函数y=a^x（a为任意实数），它的导数又该怎么求呢？

这里需要一个小技巧，我们可以把a写成e^ln a（其中ln是以e为底的自然对数），因此我们有：

那么，e^(ln a)x又该怎么求导呢？很容易看出，这是一个复合函数，根据链式求导法则，我们可以得到：

别忘了，a=e^ln a。因此，给定任意一个指数函数y=a^x，它的导数就是(a^x)ln a。

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