高中数学多变量解题方法（数形结合思想之）

二、图解法

图解法是对数量关系进行适当的几何解释，把代数或三角问题转化为几何问题，在利用几何和函数的图像的知识实现代数、三角问题解决的方法。

1、函数图像法

通过引进函数，利用函数的图像实现几何解释的图解法，称函数图像法。

例题1、若不等式

例题1图1

的解集为 （0,2），求实数 a 的值 。

解：设 y1 = √(4x - x^2) ，其图像是圆心在（2,0），半径为 2 的上半圆 ，如下图所示：

例题1图（2）

设 y2 = （a - 1）x ，它是过原点的直线系，当且仅当 y2 = （a - 1）x 经过点 A（2,2）时才有：

当 x ∈ ( 0, 2） 时，y1 ＞ y2 ，因而 2 = （a - 1）• 2 ，即 a = 2 。

例题2、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞ ( a b ) / 2 ，

求证：

例题2图（1）

解题思路：

待证不等式组最左端和最右端与一元二次方程的根的表达式接近，若把它们进行等价变形为根的表达式的形式

例题2图（2）

问题转化为证明方程 ax^2 - 2cx b = 0 的两个根一个大于 1 ， 一个小于 1 。

这可由讨论函数 y = ax^2 - 2cx b 的性质得到 。

证明：

令 f(x) = ax^2 - 2cx b 因为 a > 0 ，所以函数的图像是开口向上的抛物线 。

∵ c ＞ ( a b ) / 2 > 0 , ∴ c^2 > [( a b ) / 2 ]^2 ≥ ab ,

∴ △ = 4c^2 - 4ab ＞ 0 。

∵ c ＞ ( a b ) / 2 ， ∴ 2c ＞ a b ,

∴ a - 2c b < 0 , ∴ f(1) = a - 2c b < 0 。

这说明抛物线与 x 轴的左交点在点 （1,0）的左侧，而右交点在点 （1,0）的右侧，如下图所示：

例题2图（3）

即

例题2图（4）

即

例题2图（5）

2、几何图形法

通过构造精确定义上的几何图形的图解法叫几何图形法。

例题3、若 a ＞ 0 , b ＞0 , c ＞0 ，

求证：

例题3图（1）

解题思路：

考虑到 a , b , c 都是正数，且每个被开方式与余弦定理形式接近，利用余弦定理的几何解释，每个无理式都表示某三角形的一边，而由这三个三角形作基础可构成一个四面体，由这个四面体来证明这个不等式。

证明：

构造四面体 OABC ，使 OA = a , OB = b , OC = c ，∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 60° ， 如下图所示：

例题3图（2）

由余弦定理有：

AB^2 = a^2 b^2 -2ab • cos60° = a^2 b^2 - ab；

BC^2 = b^2 c^2 - 2bc • cos60° = b^2 c^2 - bc ;

CA^2 = a^2 c^2 -2ac • cos60° = a^2 c^2 - ac 。

在 △ABC 中 ， ∵ AB BC > CA

∴

例题3图（3）

例题4、若 α ，β 都是锐角，且 sin( α β) = 2sinα ， 求证： α ＜β 。

解题思路：

由已知条件 sin( α β) = 2sinα 联想到正弦定理，可构造以 α ，β 为内角的三角形 。

证明：

因为 α ，β 都是锐角 ，构造以 α ，β 为内角的三角形 ABC ，如下图所示：

例题4图（1）

∠B = α ， ∠C = β 。

∵ sin∠A = sin( π - α - β） = sin(α β)

∴ sin∠A = 2sin∠B

因此可设 BC = 2 ， AC = 1

∵ AB > BC - AC = 1

∴ α ＜β

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