五年级展示多边形的面积推算过程（两个正方形形成的燕尾面积计算及其联想）

作者 | 靳晓黎

本文导读：

❶ 如下图所示，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF和EC相交于点H，已知AB＝4cm，EF＝6cm，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

❷ 如下图所示，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF和EC相交于点H，已知AB＝4cm，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

与上题对比，减少了“EF＝6cm”的条件。可以猜想阴影部分的面积与正方形ECGF的边长无关。常规解法是经过两次面积变换：

①：利用同底等高，

②：利用梯形中的蝴蝶模型( BD//CF,参见附部分证明)，

直觉思考：

连接AH，则

似乎看起来这样做面积变换比前面的两种解决都快很多，但是这种解法有个前提：A，H，G必须三点共线。

如右图，将ECGF变为长方形后，BF与EC交于点H，AG与EC交于点J，此时A，H，G三点并不共线。

因此需要证明：

正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，若BF与EC交于点H，则AG与EC也必交于点H.

证明过程：

在此假设AG与EC交于点H’ ，则根据线段间的比例关系可得：

因为CG=FG，AB=BC，所以HC=H'C，

所以H重H'合，即A，H，G三点共线。

联想：用线段的比例关系很容易证明一个漂亮的结论：

更一般的情形，不需要正方形结构，关系式亦成立。

联想：箭头模型的角度计算

利用外角和公式不难证明，

附：梯形中的蝴蝶定理证明