阿基里斯能不能追不上乌龟（阿基里斯能追上乌龟吗）

张天蓉：物理学者，科普作家，美国德州奥斯汀大学理论物理博士。2012年开始在科学网发表一系列科普博文，其文风深入浅出，趣味盎然，亦保持科学的严谨性。著有 《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》、《世纪幽灵：走近量子纠缠》、《数学物理趣谈：从无穷小开始》、《上帝如何设计世界——爱因斯坦的困惑》、《电子，电子！谁来拯救摩尔定律？》、《爱因斯坦与万物之理：统一路上人和事》、《永恒的诱惑：宇宙之谜》等。 其中的《上帝如何设计世界：爱因斯坦的困惑》一书，入选了“2015年度影响力图书“ 。

极限这个字眼激发我们无限的想象。首先让我们联想到人们常常说的一句话：“挑战极限”。不过，在数学上，极限有它独特的含义，表明的是一种数学量无限趋近某个固定数值的意思。

“科学给人知识，历史使人智慧”，追溯科学发展史、了解大师们的思路历程，能启发我们的科学思维，预见科学的未来。极限思想的萌芽阶段可以上溯到2000多年前。希腊哲学家芝诺（约公元前490-430）曾经提出一个著名的阿基里斯悖论，就是古希腊极限萌芽意识的典型体现。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄人物，参与了特洛伊战争，被称为“希腊第一勇士”。假设他跑步的速度为乌龟的十倍。比如说，阿基里斯每秒钟跑10米，乌龟每秒钟跑1米。出发时，乌龟在他前面100米处。按照我们每个人都具备的常识，阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。我们可以简单地计算一下20秒之后他和它在哪里？20秒之后，阿基里斯跑到了离他出发点200米的地方，而乌龟呢，只在离它自己出发点20米之处，也就是离阿基里斯最初出发点120米之处而已，阿基里斯显然早就超过了它！

但是，从古至今的哲学家们都喜欢狡辩，芝诺说：“不对，阿基里斯永远都赶不上乌龟！”为什么呢？芝诺说，你看，开始的时候，乌龟超前阿基里斯100米；当阿基里斯跑了100米到了乌龟开始的位置时，乌龟已经向前爬了10米，这时候，乌龟超前阿基里斯10米；然后，我们就可以一直这样说下去：当阿基里斯又跑了10米后乌龟超前1米；下一时刻，乌龟超前0.1米；再下一刻，乌龟超前0.01米，0.001米，0.0001米，……不管这个数值变得多么小，乌龟永远超前阿基里斯。所以，阿基里斯不可能追上乌龟！

正如柏拉图所言，芝诺编出这样的悖论，或许是兴之所至而开的小玩笑。芝诺当然知道阿基里斯能够捉住乌龟，但他的狡辩听起来也似乎颇有道理，怎样才能反驳芝诺的悖论呢？

再仔细分析一下这个问题。将阿基里斯开始的位置设为零点，那时乌龟在阿基里斯前面100米，位置=100米。我们可以计算一下在比赛开始100/9秒之后阿基里斯及乌龟两者的位置。阿基里斯跑了1000/9米，乌龟跑了100/9米，加上原来的100米，乌龟所在的位置=100/9 100=1000/9，与阿基里斯在同一个位置，说明这时候（100/9秒）阿基里斯追上了乌龟。不过是11秒又1/9秒而已。但是，按照悖论的逻辑，将这11秒又1/9秒的时间间隔无限细分，给我们一种好像这段时间永远也过不完的印象。就好比说，你有1小时的时间，过了一半，还有1/2小时；又过了一半，还有1/4小时；又过了一半，你还有1/8小时；1/16小时、1/32小时……一直下去，好像这后面半小时永远也过不完了。这当然与实际情况不符。事实上，无论你将这后半小时分成多少份，无限地分下去，时间总是均匀地流逝，与前半小时的流逝过程没有什么区别。因此，阿基里斯一定追得上乌龟，芝诺悖论不成立。

不过，从纯数学的角度来看，芝诺悖论本身的逻辑并没有错，因为任何两点之间都有无数个点，都可以分成无限多个小段。阿基里斯追乌龟是一个极限问题，即使从现代数学的观点，对于潜无限而言，极限是个无限的、不可完成的动态进行过程。因而，仍然有人认为，仅从逻辑的角度，这个悖论始终没有完全解决，阿基里斯永远追不上乌龟。

继芝诺之后，阿基米德对此悖论进行了颇为详细的研究。他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远，将这问题归结为无穷级数求和的问题，证明了尽管路程可以无限分割，但整个追赶过程是在一个有限的长度中。当然，对我们而言，这个无穷等比级数求和已经不是个问题，高中数学中就有。但对2000多年前的阿基米德来说，还是极富挑战性的。