两个圆相切怎么算等边三角形（怎么求与三角形相切的圆）

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求与三角形边长相切的圆半径​是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，P为AC的中点，连接PD，BC=6，DP=4，O为边BA上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，求⊙O的半径。

解题过程：

1、⊙O与CD边所在的直线相切

根据直角三角形的性质和题目中的条件：CD⊥AB，P为AC的中点，DP=4，则AC=2DP=8，DP=AP=PC=4；

根据勾股定理和结论：∠ACB=90°，BC=6，AC=8，则AB=10；

根据相似三角形的判定和结论：∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，则△ACB∽△ADC；

根据相似三角形的性质和结论：△ACB∽△ADC，则AC/AD=AB/AC；

根据结论：AC/AD=AB/AC，AC=8，AB=10，则AD=32/5；

根据结论：AB=10，AD=32/5，则BD=AB-AD=18/5；

根据结论：BO=BD/2，BD=18/5，则BO=9/5。

2、⊙O与PD边所在的直线相切

设⊙O与PD所在直线的切点为E，连接OE，设⊙O的半径为r

根据切线的性质：⊙O与PD边所在的直线相切，则∠DEO=90°；

根据等边对等角的性质和结论：AP=DP，则∠A=∠ADP；

根据结论：∠A=∠ADP，∠EDO=∠ADP，则∠A=∠EDO；

根据相似三角形的判定和结论：∠A=∠EDO，∠ACB=∠DEO=90°，则△ACB∽△DEO；

根据相似三角形的性质和结论：△ACB∽△DEO，则AB/BC=OD/OE；

根据结论：OB=OE=r，BD=18/5，则OD=BD-OB=18/5-r；

根据结论：AB=10，BC=6，AB/BC=OD/OE，OD=18/5-r，OE=r，则r=27/20；

3、⊙O与PC边所在的直线相切

设⊙O与PC所在直线的切点为F，连接OF，设⊙O的半径为r

根据切线的性质：⊙O与PC边所在的直线相切，则∠AFO=90°；

根据相似三角形的判定和结论：∠A=∠A，∠ACB=∠AFO=90°，则△ACB∽△AFO；

根据相似三角形的性质和结论：△ACB∽△AFO，则AB/AO=BC/OF；

根据结论：AB=10，BO=r，则AO=AB-BO=10-r；

根据结论：AB=10，AO=10-r，BC=6，OF=r，AB/AO=BC/OF，则r=15/4；

所以，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径为9/5或27/20或15/4。

解决本题的关键是充分利用切线性质添加辅助线构造出直角三角形，同时得到一组相似三角形，利用对应边成比例的性质，就可以轻松求得题目需要的值。