高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)

很多同学私信我关于高中数学,我简单总结了一下,存在的问题无外乎

基础知识不过关

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高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)(1)

高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)(2)

高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)(3)

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集 合

一、基础知识

1.集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.

元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.

(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.

(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.

(4)五个特定的集合及其关系图:

高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)(4)

N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.

2.集合间的基本关系

(1)子集:一般地,对于两个集合AB,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称AB的子集,记作AB(或BA).

(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称AB的真子集,记作ABBA.

AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.

(3)集合相等:如果AB,并且BA,则AB.

两集合相等:ABA中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性.                    

(4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.

∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.

3.集合间的基本运算

(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为AB的交集,记作AB,即AB={x|xA,且xB}.

(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为AB的并集,记作AB,即AB={x|xA,或xB}.

(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|xU,且xA}.

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.

二、常用结论

(1)子集的性质:AA,∅⊆AABAABB.

(2)交集的性质:AAAA∩∅=∅,ABBA.

(3)并集的性质:ABBAABAABBAAAA∪∅=∅∪AA.

(4)补集的性质:A∪∁UAUA∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.

(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.

(6)等价关系:ABAABABAAB.

考点一 集合的基本概念

[典例] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A={(xy)|x2+y2=1},B={(xy)|yx},则AB中元素的个数为(  )

A.3           B.2

C.1 D.0

(2)已知ab∈R,若={a2,ab,0},则a2 019+b2 019的值为(  )

A.1 B.0

C.-1 D.±1

[解析] (1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线yx上的点的集合,直线yx与圆x2+y2=1有两个交点,所以AB中元素的个数为2.

(2)由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 019+b2 019=(-1)2 019+02 019=-1.

[答案] (1)B (2)C

[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.

[题组训练]

1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-xA,1-xA},则集合B中元素的个数为(  )

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:选A 若xB,则-xA,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.

2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于(  )

A. B.

C.0 D.0或

解析:选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.

a=0时,x=,符合题意.

a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,

所以a的值为0或.

3.(2020·厦门模拟)已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为 .

解析:因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<k≤6.

答案:(5,6]

考点二 集合间的基本关系

[典例] (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则(  )

A.BA          B.AB

C.AB D.BA

(2)(2020·湖北八校联考)已知集合A={x∈N*|x2-3x<0},则满足条件BA的集合B的个数为(  )

A.2 B.3

C.4 D.8

(3)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},若BA,则m的取值范围为________.

[解析] (1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较AB中的元素可知AB,故选C.

(2)∵A={x∈N*|x2-3x<0}={x∈N*|0<x<3}={1,2},又BA,∴满足条件BA的集合B的个数为22=4,故选C.

(3)当m≤0时,B=∅,显然BA.

m>0时,因为A={x|-1<x<3}.

BA,在数轴上标出两集合,如图,

高中数学必背公式及知识点(高中数学三年基础知识)(5)

所以所以0<m≤1.

综上所述,m的取值范围为(-∞,1].

[答案] (1)C (2)C (3)(-∞,1]

[变透练清]

1.若本例(2)中A不变,C={x|0<x<5,x∈N},则满足条件ABC的集合B的个数为(  )

A.1            B.2

C.3 D.4

解析:选D 因为A={1,2},由题意知C={1,2,3,4},所以满足条件的B可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

2.若本例(3)中,把条件“BA”变为“AB”,其他条件不变,则m的取值范围为________.

解析:若AB,由得m≥3,

m的取值范围为[3,+∞).

答案:[3,+∞)

3.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若BA,则实数m的取值范围为________.

解析:①若B=∅,则Δm2-4<0,解得-2<m<2;

②若1∈B,则12+m+1=0,

解得m=-2,此时B={1},符合题意;

③若2∈B,则22+2m+1=0,

解得m=-,此时B=,不合题意.

综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).

答案:[-2,2)

考点三 集合的基本运算

考法(一) 集合的运算

[典例] (1)(2020·天津高考)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(AB)∩C=(  )

A.{-1,1}         B.{0,1}

C.{-1,0,1} D.{2,3,4}

(2)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为(  )

A.{x|-2≤x<4}

B.{x|x≤2或x≥4}

C.{x|-2≤x≤-1}

D.{x|-1≤x≤2}

[解析] (1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},

AB={-1,0,1,2,3,4}.

C={x∈R|-1≤x<2},

∴(AB)∩C={-1,0,1}.

(2)依题意得A={x|x<-1或x>4},

因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2}.

[答案] (1)C (2)D

考法(二) 根据集合运算结果求参数

[典例] (1)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|xm}.若AB={x|x>4},则实数m的取值范围是(  )

A.(-4,3) B.[-3,4]

C.(-3,4) D.(-∞,4]

(2)(2020·河南名校联盟联考)已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a},若AB={4},则a=(  )

A.3 B.2

C.2或3 D.3或1

[解析] (1)集合A={x|x<-3或x>4},∵AB={x|x>4},∴-3≤m≤4,故选B.

(2)∵AB={4},∴a+1=4或2a=4.若a+1=4,则a=3,此时B={4,6},符合题意;若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上,a=3,故选A.

[答案] (1)B (2)A

[题组训练]

1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则AB=(  )

A.{1} B.{1,2}

C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}

解析:选C 因为集合B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3},所以AB={0,1,2,3}.

2.(2020·重庆六校联考)已知集合A={x|2x2+x-1≤0},B={x|lg x<2},则(∁RA)∩B=(  )

A. B.

C. D.∅

解析:选A 由题意得A=,B=(0,100),则∁RA=(-∞,-1)∪,所以(∁RA)∩B=.

3.(2020·合肥质量检测)已知集合A=[1,+∞),B=,若AB≠∅,则实数a的取值范围是(  )

A.[1,+∞) B.

C. D.(1,+∞)

解析:选A 因为AB≠∅,

所以解得a≥1.

1.(2020·福州质量检测)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|-1<x≤4},则集合AB中元素的个数为(  )

A.1           B.2

C.3 D.4

解析:选B 依题意,集合A是由所有的奇数组成的集合,故AB={1,3},所以集合AB中元素的个数为2.

2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(AB)=(  )

A.{2,6} B.{3,6}

C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}

解析:选A 因为A={1,3,5},B={3,4,5},所以AB={1,3,4,5}.又U={1,2,3,4,5,6},所以∁U(AB)={2,6}.

3.(2020·天津高考)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=(  )

A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}

C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}

解析:选B ∵全集为R,B={x|x≥1},

∴∁RB={x|x<1}.

∵集合A={x|0<x<2},

A∩(∁RB)={x|0<x<1}.

4.(2020·南宁毕业班摸底)设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是(  )

A.MNM B.M∪(∁RN)=M

C.N∪(∁RM)=R D.MNM

解析:选D 由题意可得,N=(0,2),M=(-∞,4),所以MNM.

5.设集合A=,B={x|ln x≤0},则AB为(  )

A. B.[-1,0)

C. D.[-1,1]

解析:选A ∵≤2x<,即2-1≤2x<2

,∴-1≤x<,∴A=.∵ln x≤0,即ln x≤ln 1,∴0<x≤1,∴B={x|0<x≤1},∴AB=.

6.(2020·郑州质量测试)设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若ABA,则a的取值范围是(  )

A.(-∞,2] B.(-∞,1]

C.[1,+∞) D.[2,+∞)

解析:选D 由ABA,可得AB,又因为A={x|1<x<2},B={x|x<a},所以a≥2.

7.已知全集UAB中有m个元素,∪中有n个元素.若AB非空,则AB的元素个数为(  )

A.mn B.mn

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C.nm D.mn

解析:选D 因为∪中有n个元素,如图中阴影部分所示,又UAB中有m个元素,故AB中有mn个元素.

8.定义集合的商集运算为=,已知集合A={2,4,6},B=,则集合∪B中的元素个数为(  )

A.6 B.7

C.8 D.9

解析:选B 由题意知,B={0,1,2},=,则∪B=,共有7个元素.

9.设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<1,且x∈Z},则AB=________.

解析:依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此AB={x|-1≤x<1,x∈Z}={-1,0}.

答案:{-1,0}

10.已知集合U=R,集合A=[-5,2],B=(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为

________.

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解析:∵A=[-5,2],B=(1,4),∴∁UB={x|x≤1或x≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A={x|-5≤x≤1}.

答案:{x|-5≤x≤1}

11.若集合A={(xy)|y=3x2-3x+1},B={(xy)|yx},则集合AB中的元素个数为________.

解析:法一:由集合的意义可知,AB表示曲线y=3x2-3x+1与直线yx的交点构成的集合.

联立得方程组解得或

AB=,所以AB中含有2个元素.

法二:由集合的意义可知,AB表示曲线y=3x2-3x+1与直线yx的交点构成的集合.因为3x2-3x+1=x即3x2-4x+1=0的判别式Δ>0,所以该方程有两个不相等的实根,所以AB中含有2个元素.

答案:2

12.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|xa},若AB,则实数a的取值范围是__________.

解析:由log2x≤2,得0<x≤4,

A={x|0<x≤4},而B={x|xa},

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由于AB,在数轴上标出集合AB,如图所示,则a>4.

答案:(4,+∞)

13.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|axa+1}.

(1)分别求ABA∪(∁UB);

(2)若BCB,求实数a的取值范围.

解:(1)由题意知,AB={x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}={x|2<x≤3}.易知∁UB={x|x≤2或x≥4},所以A∪(∁UB)={x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}={x|x≤3或x≥4}.

(2)由BCB,可知CB,画出数轴(图略),

易知2<a<a+1<4,解得2<a<3.

故实数a的取值范围是(2,3).

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、基础知识

1.命题的概念

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

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