代数第三单元讲解（周向宇从复数谈起）

图1 周向宇院士

周向宇，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，中国科学院院士，发展中国家科学院院士。周院士主要从事多复变与复几何的研究，在多复变领域取得一系列具有国际领先的研究成果，证明了扩充未来光管猜想与Sergeev猜想，与合作者解决了Demailly关于乘子理想层的强开性猜想。曾获国家杰出青年科学基金、求是杰出青年学者奖、陈省身数学奖、国家自然科学奖二等奖、陈嘉庚科学奖。

周院士从复数产生的历史谈起，阐述复数及复变函数的神奇作用，说明“虚数”不虚及数学的“无用之用”，兼及中国古代数学思想。

本文由周向宇院士12月16日于北航沙河校区所作报告整理而成（部分内容），数学经纬网授权发布。

刚开始强调的复变函数的几个关键词，其中有变量，笛卡尔说这是未知和未定的量，而在中国更早我们就把它叫“天元”，像李冶等还形成了一套天元术。宋元四杰（李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰）在中国古代数学发展中有非常重要光辉的事迹，到朱世杰时，他已经可以做四个变元多项式方程组了。事实上，把天元引进到数学是非常重要的，可以说是数学上的转折点，因为这样就有了变量。这里顺带说一下，我们现在把“algebra”称为“代数”，是李善兰先生翻译的，用的是韦达的观点，用符号来代替数。

图2 李冶

函数可以看作是变量之间的联系（关系），是数学里一个非常基本的概念，是描述变化和运动的语言。李善兰曾给出定义：凡式中含天，为天之函数。这个“天”就是“天元”，“天之函数”就是变量的函数。在国外早期的研究者，如奥雷姆、笛卡尔、费马等，他们是考虑图形的轨迹来研究函数的。 函数是数和形的一个桥梁。在现代，常常提函数的图像，有函数就有对应的图像。我们常说“点动成形”，点作为变量在变动，自然形成了形。过去研究的都是比较经典的曲线，函数出来以后，就能研究无限多的、任意的曲线。所以，函数有代数的符号含义，也有几何的意义，还能体现物理的规律。研究物理规律，像Stevin, Kepler, Galileo有关数学物理方面的工作，函数是作为一个基本工具的。

“函数”这个词是莱布尼兹提出的，还有“变量”、“参数”、“参变量”，都是莱布尼兹引进的。他引进的词现在都还在用，牛顿用的“流量”现在基本上不再用了。过去函数只是附带的、不是主要的研究对象，从欧拉开始，函数被认为是一个主要的研究对象。

有了函数自然要研究它的极限，大学课程里的收敛、连续、微分、积分等的一个共同出发点就是极限。在古代中国，极限思想是很丰富的。名家惠施有言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（见庄子《天下篇》）。这话写成数学语言应该是这样：

你不可能写成有限项，你必须写成无限项。还有墨子说：“一条线段从中点处分成两半，取一半，再将该一半破成两半，仍取其一半，一直取到其不能被分割的时候，自然就是一个点了。”这实际就是区间套定理，我把它称为墨子半分法。我们可以用墨子半分法证明致密性定理、聚点定理、有限覆盖定理，还有连续函数的零点存在定理等等。

图3 墨子

“有穷”、“无穷”是墨家的常用术语。到后来，刘徽发明“割圆术”——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。这段话本身就在讲一个极限。再后来，祖冲之和他的儿子祖暅写了一本书《缀术》，现已失传。“缀”有连续的含义，我认为书中有大量的极限思想。其中有非常著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思是有两个立方体，如果它们的平行截面面积都相等，那么它们的体积相等。这在国外叫卡瓦列里原理。祖暅更早提出并以此回答了刘徽以牟合方盖求球的体积的遗留问题。

如今工科学生学复变函数课程是非常基本、非常普遍的。钱学森在加州理工学院求学时就学习了当时比较前沿的复变函数论。在我看来，如果不懂复变函数，大概不能称为是一个好的工程师。

这里我要强调，“虚数”不虚也反映了一个非常重要的一个理念，就是“无用之用”。在最初研究复数时，人们觉得它没有实用，但现在应用非常广泛。在前苏联，拉夫连季耶夫和沙巴特写了一本书《复变函数论方法》。两位杰出的数学家在这本书里阐释了很多例子反映了复变函数的重要应用，包括在流体力学、气体动力学、弹性力学、电磁学、电工学、电路计算、机翼设计等等方面。

数学一个很重要的作用就是“无用之用”，事实上“无用之用”是庄子最早于《庄子·人间世篇》提出来的，他在那时候就已经提醒我们，“人皆知有用之用，而莫知无用之用也”，无用之用确实非常深刻。他举了一个例子。有个人看到一棵大树很茂密，就问伐木人，说你们为什么不砍伐它？伐木人说，这棵树，如果用来做船，就会沉下去；如果用来做门窗，就会渗液而合不拢；如果用来做屋柱，就会被虫咬而不牢靠；如果用来做棺材，就会很容易腐烂，所以没什么用。结果庄子就发感慨，你看它没用，它却活得很长，正是大用；另外还可以让很多人和牲畜在它底下避雨遮荫，因为它枝繁叶茂。

图4 庄子

由此可见，庄子非常有思想，他是一位辩证法大师。“无用之用，方为大用”——没有用的用处，才是最大的用处。当时没有用，但到后来就有用了；从这个角度看没有用，但从另外一个角度看有重大意义。“无用之用”的科学研究在于构建科学知识体系。《周易·系辞上》中讲“探赜索隐，钩深致远”，以及“格物致知”，这就把科学研究的本质讲得很清楚。科学研究的真谛就是要探索深奥隐秘的问题，探索未知来获取新知，就是要构建科学知识体系。徐光启说过：“无用之用，众用之基”，人们正是通过科学知识体系找到众多应用来造福人类。

虚数虽然当时没有实用，但对数学科学知识体系是一个重大贡献。所以在我看来这本身就是一种用，你不能把“用”字局限于实用，科学知识体系是人类宝贵财富，是无价之宝。比如阿波罗尼奥斯（Apollonius），他研究圆锥曲线，在当时既没有实用背景，也没有实用的目的，完全是“无用之用”。到了两千年以后才发现应用，开普勒发现了行星运动规律，行星运动轨迹是椭圆；人们发现炮弹飞行轨迹是抛物线；以及现在的定位系统与双曲线有关等。定位系统为什么叫双曲系统？通过地面物体发出的光或者发送的信号，信号被卫星接收的时间的差总是一个定值，且信号发送的速度是一样的，从而物体到这两个卫星的距离之差是一个定值。一个动点，如果到两个定点的差是一个定值，这是双曲线的一支。多点定位系统用这个思想来定位，所以叫双曲系统。

数学里的拓扑，也属于无用之用。在2016年获得诺贝尔物理奖是因为拓扑相、拓扑相变的发现，现在拓扑绝缘体、拓扑材料都是拓扑相关研究，非常活跃，而过去拓扑是没有实用的。今年诺贝尔物理学奖是颁给彭罗斯等关于黑洞发现的工作，彭罗斯引入基础数学研究时空的奇点，预言了黑洞的存在；他在1978年国际数学家大会上一小时大会报告的题目是“自然界的复几何”。还有布尔研究人类思维活动所揭示的规律（逻辑思维规律），发现了布尔代数，当时既无实际背景与实用需求，也没实用目的，此后才产生了很重要的实用，现在在人工智能中起一个非常基础的作用。1938年，香农在其硕士论文中，注意到电话交换电路与布尔代数之间的类似性，即把布尔代数的“真”与“假”和电路系统的“开”与“关”对应起来。于是他用布尔代数分析并优化开关电路，奠定了数字电路的理论基础。布尔代数是芯片的基础。华为很重视基础科学研究，土耳其Arikan教授发现极化码，极大提高5G编码性能。2016年，国际移动通信标准化组织3GPP确定了5G增强移动宽带场景的信道编码技术方案，其中华为的极化码成为控制信道的编码方案。Arikan的论文犹如数学论文。这些都是极好的说明数学“无用之用”的例子。

下面谈谈我对《愚公移山》寓言故事除了通常解释外的理解。

愚公开协商之先河。作为一家之长的愚公在移山前，不搞一言堂，“聚室而谋”，“其妻献疑”，采纳了其妻的合理建议。这生动诠释了有事好商量、众人的事众人商量、不搞形式主义、真协商、协商于决策之前、决策基于科学等协商精髓。

图5 愚公移山

另外，《愚公移山》蕴涵深邃的数学思想，为什么？愚公回复智叟的话事实上包含了两条十分重要的数学原理：

前半部分相当于定义了自然数，认识到了自然数的无穷性（国外称Peano定理，19世纪末完成）。

后半部分其实就是衡量微积分正确与否的实数理论基石——阿基米德原理。

“虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也”。其实这里是定义了自然数，认识到了自然数的无穷性。以此定义自然数，显见自然数的交换律与结合律。

愚公子孙的辈分集与自然数集构成一一对应，愚公子孙的辈分集也是愚公子孙们的等价类集，这里，愚公的两个后代称为等价的当且仅当这两个后代属于同一辈分。设愚公本人对应于0，其子辈对应于1，其孙辈即其子之子辈对应于1 1=2；设愚公某后辈对应于n，则该后辈之子辈对应于n 1。这样定义自然数的方法可以称为愚公子孙模型。

从愚公子孙模型容易看出自然数的运算规律。先来看交换律：比如1 2与2 1。在愚公子孙模型中，1 2对应于其子之孙辈，即曾孙辈；而2 1对应于其孙之子辈，亦即曾孙辈。所以1 2=2 1。再来看结合律：比如在1 1 1中，前两个1相加，即2 1；后两个1相加即1 2，由刚才的解释，所以有（1 1） 1=1 (1 1)。

“子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”。设山的土石方量为b>0（可能非常大），愚公家族每一代挖的土石方量为a>0（a可能非常小）。一代挖a，两代就是2a，到了第n代，那就是na。因为“山不加增”，就可以把b设为常数。“子子孙孙无穷匮”，这就意味着自然数1，2，3，……，n，……是可以趋于无穷的。所以愚公断言，总可以找到一个自然数n，使得na>b。此即有名的阿基米德原理。

愚公的思想还蕴涵了n趋于无穷的极限含义。