最短路径问题的原理及画法（带约束条件的最短路问题）

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

• 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。

• 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

• 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

• 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：

• Dijkstra算法

• A*算法

• Bellman-Ford算法

• SPFA算法（Bellman-Ford算法的改进版本）

• Floyd-Warshall算法

• Johnson算法

• Bi-Direction BFS算法

以上说明的是基本最短路问题，这里要介绍的是带有约束条件的最短路问题，例如：

1. 最多走10步

2. 有必须要经过的点、边

3. 有不能经过的点、边

解决方法其实只需要一个思路：拆点构图，即点附状态。约束条件有几种可能的组合方式，就有几种状态。例如，最多走5步，有两个必须经过的点，有两个必须经过的边，（先不考虑不能经过），那么状态数就是，6*3*3=54，即每个点有54种状态。

先来复习下Dijkstra算法，其伪代码如下：

考虑上述拆点构图我们需要做什么呢？首先在描述距离的数组d要增加维度，例如d[n][54]。这样，我们的以确定最优路径集合S，未确定最优集合Q，就不能再是单纯的点集，而应该是(点 状态)集。其次在11到14行，以确定最优点优化其他点是，应当根据约束条件计算出被优化点的状态是什么，再去更新该状态的点。同样previous数组也应记录的是，s1状态点p1的前一点是s0状态的点p0。

最后，考虑不能经过的点、边，估计你早有思路，就是把该点、边从你的图结构中直接抹去。

OK，到此为止，阐述完毕。