物质波能量计算公式（如虚如实说能量与能量转化之机械能）

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在「如虚如实说」| 能量与能量转换之机械能（一）中说到牛顿（Isaac Newton，1643—1727）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）首先发明了微积分，并因此引入变化的概念，为研究机械运动和机械能的力学（Mechanics）奠定了基础。接下来的是欧拉和拉格朗日。欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）的数学出神入化，将有专文介绍。

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）出生于意大利都灵。他的祖父是法国骑兵军官，所以他总把自己看作是法国人。他18岁时便写出了第一篇数学论文，文章发表后他才发现莱布尼茨已经解决了文章中提到的问题，惭愧之余他更加努力地工作，很快就做出了成绩。他19岁时就被任命为都灵炮兵学校的教授。在接下去的十年间，他发表了一系列重要的文章，声名也渐渐地传开。1766年，他30岁时接替欧拉任柏林数学研究所的所长，在那里工作了20年。1787年他转到巴黎，任职法国科学院。1793年法国大革命爆发。由于他是意大利人，而意大利是敌国，他几乎被关进监狱。幸得现代化学之父拉瓦锡（Antoine-Laurent de Lavoisier，1743—1794）竭力营救，才得以幸免。但过了不久，拉瓦锡却做了砍头机下之鬼。1799年拿破仑（Napoléon Bonaparte, 1769—1821）上台后提名拉格朗日等几位著名科学家为上议院议员，后来又封他为伯爵（图1），1813年还授予他帝国大十字勋章。可惜此时拉格朗日已重病缠身，不久就逝世了。在他的葬礼上，上议院议长，大名鼎鼎的数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）致了悼词。

图1，约瑟夫·拉格朗日

拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大贡献。但在数学方面贡献最大。例如他证明了一个 2 千年前古希腊人留下了的一个问题：任何整数都可以表示为 4 个数 的平方之和，例如，5 = 2² 1² 0² 0² , 21 = 4² 2² 1² 0² , 127 = 11² 2² 1² 1²，…。证明精巧简明，令人叹为观止。

拉格朗日用数学的方法来研究力学与天文学。1786年，他发表了著名的力学著作《力学分析》（法文：Mécanique analytique）。在书的前言中，他不无骄傲地说，他所用的是分析方法，全书没有一张图。与牛顿的直接推导方法不同，拉格朗日的力学方法没有使用力的概念，而是直接建立在动能和势能相互作用的基础上。他先定义了一个拉格朗日算子（称为Lagrangian）：

接着他说力学系统会达至平衡（stationary），因此可以推出拉格朗日-欧拉方程：

在上文中讲到，在动能，势能。前者与位置无关，后者与速度无关，代入上式就可以得到。

在这个方程中，左边的是加速度，右边是重力。这正好就是牛顿第二定律：。拉格朗日还给出了一套求解机械运动的方法：

• 定义好合适的坐标系；
• 写下拉格朗日算子；
• 用拉格朗日方程推出运动方程；
• 求解运动方程。

这一方法使用方便，许多用牛顿的方法看似复杂得无法解决的问题都变得出奇的简单。是求解机械运动的利器。

拉格朗日还解决了上文提到的3物体运动问题（即太阳、地球、月球在各自的引力相互作用下的运动问题），并和欧拉一起分享了为解决这个问题所设的奖金。在地球绕日运动的系统中，欧拉发现了3个平衡点：，，，在这些点上太阳的吸引力与地球的吸引力正好互相抵消为0。

拉格朗日又发现了两个点，。今天这些点都称为拉格朗日点（图2）。

由于引力为0，在这些点上运动十分容易。2015年，美国太空总署发射了一个观测太阳气候的卫星“深空气候观测站”（Deep Space Climate Observatory. DSCOVR）。这个卫星就位于L₁，每天为我们发送太阳上气候的状况。其他几个拉格朗日点都离地球太远，还没能用上。

实际上拉格朗日最著名的还是他的拉格朗日最优化方法。这一方法是人工智能计算的基础之一。

图2，拉格朗日点与DSCOVR卫星 （注意，这是示意图，不成比例）

物体的运动和能量看得见、摸得着，可以用实验来验证。同时，实验也会提出新问题，促进理论的发展。理论与实验相结合推翻了形而上学的思想统治，从而使人类文明大大地进了一步。今天我们还会经常做实验，用实验来检验我们的理论。

在广东科学中心的实验发现馆里有许多实验的装置。其中有一个动量转台（图3），放上去一个小圆碟子，碟子就会跟着旋转。人们也许不知道这里头的学问：转盘是逆时针旋转的，放上去的小圆碟子是顺时针旋转的。这是为什么呢？我们可以“问一问”科里奥利。

图3，广东科学中心实验发现馆的动量转台

古斯塔夫·科里奥利（Gustave Gaspard de Coriolis，1792—1843）出生于巴黎，他的父亲是一名军官。科里奥利从小就学业出众，1808年，他考入法国著名的理工学院（École Polytechnique）。毕业后在工业界工作了几年。1816年他经由他的老师，著名数学家柯西（Augustin Louis Cauchy，1789—1857）推荐，回到理工学院任教。1829年，他和两位同事一起提出了“功（work）”的概念：功等于力乘上力作用的距离。1835年，他又提出了科里奥利力。他证明，运动的叠加会产生额外的力（科里奥利力）。如图4所示，当黑色的小球从一个旋转的圆盘的中心向外移动时，如果圆盘的是作逆时针旋转，本来作直线运动的小球就会做顺时针旋转运动了。

图4，科里奥利力

科里奥利力无处不在。例如，由于地球从西向东逆时针旋转，北半球的气流都会作顺时针旋转，而南半球的气流都会逆时针旋转。所以广东常吹东南风，东南面的大海给广东带来雨水。美国加利福尼亚州也吹东南风，但东南面的沙漠给加州带来干旱。两地气候完全不同。图4是地球季候风的走势，这些季候风都是受了科里奥利力的影响，对全球的气候非常重要。

在我们身边也有科里奥利力。读者可以看看家中的抽水马桶，冲水时水流是顺时针旋转的。如果到了南半球，那就会逆时针旋转了。

图4，地球的季候风

我们在广东科学中心「院士说」 | 摆一文中介绍的傅科摆。傅科（Jean Bernard Léon Foucault，1819—1868）与科里奥利曾同时居住在巴黎，但互相间并不认识。科里奥利自幼体弱多病，在51岁时过世了。傅科比他小27岁，所以不认识他。用科里奥利力就可以求解出傅科摆的运动方程。

对力学理论做出杰出贡献的还有汉密尔顿。爱尔兰学者威廉·汉密尔顿（William Rowan Hamilton，1805—1865）出身于一个中产阶级家庭。他的父亲没有接受过正规的教育，但自学成为律师，开了一家律师行，工作繁忙。汉密尔顿幼年的教育主要依赖他的妈妈和一位当教士的叔叔。他学习成绩出众，17岁时就发现了拉普拉斯书中的一个错误，深得大学老师们的赞赏。汉密尔顿19岁的时候遇到了凯瑟琳·迪士尼（Catherine Disney）。两人一见钟情，深深地坠入爱河。汉密尔顿为凯瑟琳写了无数情诗。然而，汉密尔顿当时还只是一名大学生。凯瑟琳的妈妈逼凯瑟琳另嫁他人。两人为此都伤心欲绝，汉密尔顿还大病了一场。三年后，汉密尔顿以优异的成绩毕业，并在老师的推荐下荣任爱尔兰皇家天文学者（Royal Astronomer of Ireland）和天文台台长。这在爱尔兰年轻学者中是绝无仅有的。汉密尔顿在爱情上遭受挫折，因此认为真爱难得，既然得不到凯瑟琳，那么别的女人都没有什么区别。翌年，他与天文台的邻居海伦·贝利（Helen Maria Bayly）结了婚。两人育有二儿一女。海伦的父母多病，经常要回家照顾。倒是孩子们为汉密尔顿的生活增添了不少乐趣。1848年，他和凯瑟琳不期而遇。虽然已经过去十几年，两人都成了家还有了子女，但还是情不自禁地鱼雁传书，互诉衷情。几个月后，凯瑟琳觉得无法忍受，向丈夫作了表白，搬回老家去了。汉密尔顿则陷入压抑，一方面拼命工作，一方面开始酗酒。1853年，凯瑟琳病重，希望能与汉密尔顿再见一面。汉密尔顿马上前去，并送上了自己的第一本书。两周后凯瑟琳病逝。从此，汉密尔顿更加消沉，工作也大不如前。他的第二部书还没有写完就去世了。此书最后由他的儿子整理出版。

图5，威廉·汉密尔顿

汉密尔顿的力学方法与拉格朗日的力学方法是相通的，但更加全面些，也更加复杂些。汉密尔顿的算子(称为Hamiltonian）是：

如上所述，T是动能，V是势能。这与拉格朗日算子只有一个符号之差，意义却完全不同。它描述了系统的能量守恒规则，所以不但可以用于机械系统还可以用于电子系统、量子力学系统等等。

汉密尔顿最大的贡献是矩阵运算。为了求解高维空间中的运动问题，他想把2维复数扩展到高维空间。他苦苦思索了好几年。每天早上，他的孩子们总会开玩笑地问他解出来了没有，他承认只能做加减，不能做乘除。一天，他和太太海伦一起去参加一个集会，走在路上时海伦说这说那，他应该都没有听见。走到一座石桥上时，他突然停了下来，捡起一块石头在桥栏杆上写下了著名的四元数（Quaternion）基本方程：

这座桥名叫金雀花桥（Broom Bridge）（图6）。今天桥上还有爱尔兰皇家协会为此立下的纪念碑。四元数法可以用矩阵表示。矩阵的点乘和叉乘都是汉密尔顿定义的。

图6，汉密尔顿在金雀花桥栏杆上划下了四元数基本方程

汉密尔顿有一句名言：“阿基米德和马赛拉斯（Marcellus，公元前270—公元前208，征服西西里岛并杀死阿基米德的罗马将领），谁愿意去当马塞拉斯，而不当阿基米德（Who would not rather have the fame of Archimedes than that of his conqueror Marcellus）？”攻城掠地确实荣耀一时，但怎么比得上为人类发现知识、理解世界、改变世界的科学家？

到了二十世纪，力学渐渐地细分出多个分枝，包括：

• 经典力学（classic mechanics）；
• 运动学（kinematics），研究机械系统的远动；
• 动力学（dynamics），研究机械系统的振动、控制等问题；
• 结构力学（structural mechanics），研究各种工程结构（如大楼、水坝等）的受力；
• 材料力学（material mechanics），研究各种工程材料（如复合材料）的受力；
• 流体力学（fluid mechanics），研究流体（包括空气、水等等）的运动问题；
• 量子力学（quantum mechanics），研究粒子的运动；等等。

这些学科造就了我们今天的生活。例如流体力学是飞机设计基础。流体力学研究飞机起飞时的升力，稍有偏差飞机可能就飞不起来。

有学者列出了为流体力学做出了巨大贡献的里程碑人物（图7）。牛顿、欧拉、拉普拉斯、拉格朗日当然榜上有名。中国学者周培源（Pei-Yuan Chou，1902—1993）也名列其中。周培源教授是加州理工大学（Caltech）第一位中国博士，曾任北京大学校长。他专门研究边界对湍流的影响，为流体力学理论做出了重要贡献。

图7，流体力学研究中的里程碑人物

图8，周培源教授与夫人王蒂澄 在1932年的结婚照，两人恩爱六十年

到了20世纪60年代，随着计算机技术的发展，力学的研究又有了新的工具：有限元分析。有限元分析技术是美国学者最先提出的。接着美国国家航空航天局（NASA）组织开发了有限元分析软件NASTRAN（NASA Structural Analysis），为推广应用打下了基础。这个免费的软件我在美国读书工作时（1980—90年代）曾经使用过。

2008年，NASA规定所有的力学问题都要用有限元分析来验证。因此，有限元分析也成了工程标准。

图9是我们用有限元分析鱼游泳的流体力学状态。如果拉格朗日见到这样的结果，他也许会颇感惊讶。

图9，我们用有限元分析鱼游泳的流体力学

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