圆中阴影面积的解题方法 求圆中阴影部分面积问题的10种方法

求圆中阴影部分面积问题，是近几年中考常考的题型之一．这类问题往往设计巧妙，且有较高的综合性．由于所求的圆中阴影部分面积一般都是不规则图形，常常需要“巧解”，这需同学们观察、分析图形的形成，会分解和组合图形，将不规则图形变成规则图形，再利用规则图形的面积公式进行求解．下面介绍十种常用的招式．

01和差法

对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．

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如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．

解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA的面积减去△ODC的面积．

如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°

02割补法

对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.

吉林中考

如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．

图3

解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．

图4

如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，

03等积变形法

运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.

天水中考

如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为

图5

解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．

图6

因为点E、B是半圆弧的三等分点，

所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，

所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，

所以BE∥AD．

04平移法

一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．

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如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．

图7

解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.

图8

如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.

05旋转法

一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．

安顺中考

如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为

图9

解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．

图10

如图10，连接OE 交BD于M．

因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，

易知△OBM ≌ △EDM，

把△OBM绕点M旋转180° 就会转到△EDM，

阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，

06对称法

一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．

赤峰中考

如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．

图11

解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性——— 既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．

过点A作AD⊥x轴于D，如图12．

图12

因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，

又因为点A、B关于直线y=x对称，

所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．

07整体法

当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．

安徽中考

如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是

图13

解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．

08方程法

有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．

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如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．

图14

解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．

设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．

图15

设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x y) ，只需求出(x y)的结果即可．

09推算法

某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．

南宁中考

如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．

图16

解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC为直径的半圆 以BC为直径的半圆 △ABC．也可以表示成: S1 S2 以AB为直径的半圆，

10特殊位置法

根据题目条件，对一些不规则阴影问题采取运动变换，将图形放置于特殊位置，并不影响所求问题的结果，这时可采用特殊位置时情形求得不规则阴影部分的面积．

浙江衢州中考

如图17，一张半径为1的圆形纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不可接触到的部分”的面积是 .

图17

解析: 根据题目条件“圆形纸片在正方形内任意移动”，可将圆形纸片放置在某个特殊位置，再求解．“不可接触到的部分”的面积，即为圆形纸片与正方形的相邻两边都相切时的特殊位置，即求两切点与正方形的一个顶点形成的曲三角形面积．

设圆形纸片移动到⊙O 与AD 相切，

过点O 作OM ⊥ AD 于M，ON ⊥ AB 于N，则四边形MANO 是正方形.

小结由以上几例可以看出，有关圆的阴影部分面积多种多样，求解方法也有多种，但只要根据图形特点，适当变换，灵活处理，消除思路中的“阴影”，一定能给解决问题带来一片光明．

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