中学正负数乘除综合运算（中学生课外读物数的产生与发展）

中学生课外读物《数的产生与发展》（整数乘除），我来为大家科普一下关于中学正负数乘除综合运算?以下内容希望对你有帮助!

中学正负数乘除综合运算

中学生课外读物《数的产生与发展》（整数乘除）

彭彤彬

4.整数的乘法

和和整数的加减一样，整数乘法比自然数乘法多了几种情况：

自然数与负整数相乘，负整数与负整数相乘。

下面分别叙述。

由前知：

自然数a与自然数b相乘就是

ab＝b个a相加＝a＋a＋…＋a

或ab＝a个b之和＝b＋b＋…＋b。

其中0×0＝0，0×a＝a×0＝0，1×1＝1，1×a＝a×1＝a。

若是自然数与负整数相乘，我们先看实际意义：

电梯连续下降4次，每次下降3米，问电梯共上升了多少米？

（-3）＋（-3）＋（-3）＋（-3）

＝（-3）×4

＝-12＝-（3×4）。

即电梯总共上升了-12米，实际上下降了12米。

电梯连续下降3次，每次下降4米，问电梯共上升了多少米？

（-4）＋（-4）＋（-4）

＝（-4）×3

＝-12＝-（4×3）。

即电梯总共上升了-12米，实际上下降了12米。

若我手中没钱了，便向某人每次借100元钱，连续借了6次，问我拥有多少钱？

（-100）×6＝-600＝-（100×6）

若向某人借了0次100元，相当于没借，所以（-100）×0＝0。

结合上述实际意义，并为了保证整数乘法满足交换律，我们由此一般化规定：

a∈N，b∈N时（-a）×b＝（-b）×a＝-（ab）。

可以知道，一个正整数与一个负整数相乘，其积为一个负数，即先写-号，再写上两乘数绝对值的积。

用式子表述为：a∈Z，b∈Z，a≥0，b＜0时ab＝ba＝-lallbl。

便得出了一个自然数与一个负整数积的意义和计算方法。并知道此时的乘法满足交换律。

若是负整数与负整数相乘，我们规定：

a∈N，b∈N时（-a）×（-b）＝-（a×（-b））＝-（-ab）＝ab。

可见两个负整数相乘，其积为正，只需将它们的绝对值相乘。

用式子表示为：

a∈Z，b∈Z，a＜0，b＜0时ab＝ba＝lallbl。

当然可证其满足交换律。

这样一来，我们有：两个整数相乘，其积的符号判定法则：正正得正，负负得正，一正一负得负。

如：34×25＝25×34

＝17×50＝850。

（-34）×25＝25×（-34）＝-850。

（-34）×（-25）

＝（-25）×（-34）

＝25×34

＝850。

可得：作整数乘法，先定符号，再将绝对值相乘。

可证：a∈Z，b∈Z时，0×a＝a×0＝0，1×a＝a×1＝a，a×（-1）＝（-1）×a＝-a，（-1）×（-1）＝1，a×（-b）＝-ab，（-a）×（-b）＝ab。

由上知，整数乘法，其积仍为整数。即：

若a∈Z，b∈Z时ab∈Z成立。

所以整数乘法是封闭的。

由前述定义，可以证明：

a∈Z，b∈Z，c∈Z时

ab＝ba（交换律），

（ab）c＝a（bc）（结合律）。

如：（-35）×（-67）×（-8）

＝（（-35）×（-8））×（-67）

＝70×4×（-67）

＝280×（-67）

=-280×67

＝-1876。

∵（-6）×（（-3） （-7））

＝（-6）×（-10）＝60，

（-6）×（-3） （-6）×（-7）

＝18＋42＝60，

∴（-6）×（（-3） （-7））

＝（-6）×（-3） （-6）×（-7）。

同理计算知（-6）×（10 （-7））

＝（-6）×10 （-6）×（-7）＝-18。

一般地，通过分类讨论（分三正，一正二负，一负二正，三正四种大情况）可证：整数乘法对加法满足分配律。即：

a∈Z，b∈Z，c∈Z时

a（b＋c）＝ab＋ac（分配律）。

总之，整数乘法，计算时主要要注意积的符号的判定，其它的基本没变。如运算律没变，封闭性也没变。

5.整数的除法

与与自然数除法一样，定义除法为乘法的逆运算。

即：若ax＝b，则称x为b除以a所得的商，记为x＝b÷a，其中b为被除数，a为除数。

显然：0x＝b时b＝0则x有无数个值，b≠0则x不存在，所以规定b÷0无意义。

即在整数除法中除数仍然不为0。

又a∈Z且a≠0时a×0＝0，∴0÷a＝0，即0除以正整数或负整数都等于0。

∵3×5＝5×3＝15，∴15÷5＝3，15÷3＝5。

一般地：自然数除法是整数除法的一部分。

∵（-3）×（-5）＝（-5）×（-3）＝15，∴15÷（-5）＝-3，15÷（-3）＝-5。

一般地：正整数除以负整数为负数。

∵3×（-5）＝5×（-3）＝-15，∴（-15）÷3＝-5，（-15）÷5＝-3。

一般地：负整数除以正整数为负数。

∵3×（-5）＝5×（-3）＝-15，∴（-15）÷（-5）＝3，（-15）÷（-3）＝5。

一般地：负整数除以负整数为正数。

可见：两不等于0的整数相除，遵循下列符号法则：同号得正，异号得负。

如：

125÷（-25）＝-（125÷25）＝-5，

（-125）÷25＝-125÷25＝-5，

（-125）÷（-25）＝125÷25＝5。

显然（-5）÷10＝-（5÷10）不是整数，所以，整数的除数是不封闭的。

可见：在整数集Z中，加减乘法具有封闭性，而除法不具有封闭性。

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