根号二的根号二次方等于多少（根号二的无限根号二次方）

如题：

首先，需要解释一下，数学中，出现指数的指数时，计算顺序：指数越高越优先。例如：

先计算3^2=9，再计算4^9=262144。

Ok，回到正题。

一个经常被提到的解答方法是这样的：

令

那么，无穷再加一层，还是无穷，等于原来的数(∞ 1=∞），得

“瞪眼法”，立得x=2和x=4。

一个表达式，怎么会有两个解呢？问题在哪儿？而且一个无穷嵌套的根号二次方，收敛吗？不会越来越大么？

以下是完整解答。

考虑如下数列：

那么：

原问题就转化为一个数列极限的问题。

要考察一个数列的极限，一般分两步：

第一，确定极限是否存在；第二，计算极限。而第一步通常包括两小步，“单调性 有界性”：

首先，数列的有界性：

显然，a0,a1,a2,等等都小于2，假设对an-1,有an-1<2,那么

数学归纳法，可知an<2恒成立，同理，用类似的数学归纳法，可知an≥1。于是

数列an有界。

第二，数列的单调性：作图：

知

于是

单调性成立。数列an单调递增。

综上，an单调递增有极限，设极限为x。根据递推关系：

两边取极限，得

作图：

得x=2或x=4。又1≤x≤2，知x=2。（虽然计算式一样，出发点不一样。一个是基于数列的极限，另一个则是基于“无穷 1=无穷”）

完毕。

留一个小问题：

当a处于什么范围的时候，上式左边等于一个有限值？这个值是多少呢？

后续阅读：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？后续：从一个方程出发