集合与逻辑需要掌握的方法（简论集合对应逻辑）

集合对应逻辑一，今天小编就来说说关于集合与逻辑需要掌握的方法?下面更多详细答案一起来看看吧!

集合与逻辑需要掌握的方法

集合对应逻辑

一

集合对应逻辑的根底在概念逻辑中，是从概念逻辑中发展出来的一个分枝。概念逻辑中有一种集合逻辑，这种集合逻辑建构了个别性、特殊性和普遍性的概念进阶，也建构了无限既和有限集，以及两者的关系。

十七世纪末、十八世纪初德国哲学家莱布尼茨设想如有一种标准语言公式，我们只要把各种命题一一输入进行逻辑必然的运算，就可以得出真假值的逻辑处理结果。这样的设想，内在地包含了一种集合逻辑的思考，即把无限集的命题输入有限集的标准公式，获得无限集和有限集对应处理的逻辑结果。

现代电子计算机技术的发展，使得莱布尼茨的设想得到了某种实现。计算机技术的运用，把各种声音的、文字的、图形的、色彩的等等信息一一转化为0和1的二进制数据系列，输入各种平台程序和生态程序的逻辑处理，这种无限数据输入和有限程序逻辑的对应处理，实际地展现了一种无限集和有限集对应处理的集合对应逻辑，生成了一个以电子科技为载体的概念逻辑分支。可以这样说，集合对应逻辑是电子计算机的逻辑基础。

二

集合逻辑有两个基本类型：一个是有限集合；一个是无限集合。

有限集合如，一个教室有40个座位，可以满坐40个学员；一辆客车有60个座位，可以满坐60个乘客等等。从集合的角度讲，有限集合的逻缉关系是：设有限集合框架为【A】，即这个教室或客车的有限集合位子占满数为A；设空缺数为V，实有数为B时，在有限集【A】的框架下，实有数是B = A； B=A-V 实有数则为亏缺；B = A 时，实有数则为超额。

无限集合则不然。无限集合是无限系列的。如，自然数、分数、奇数、偶数、素数等等都有自己的无限系列，在每一个数值后面都会有新的数值涌现；圆周率 = 3.141 5926···N是一个无限伸展的不循环小数系列；收敛级数1 = 1/2 1/4 8/1 1/16 1/32 1/64 1/128···N 的无限系列，对于2的开方来说，它平方根=1.414213562373···N亦是一个无限系列。这样的无限系列会越来越精确，但永远不会有一个终止的绝对值。

无限集合在数学上带來了的基本逻辑关系是：1、整体无限和部分无限的平行和相同；2、只有无限伸展的精确值而没有最后终止的绝对值。

对于认知来说，我们的判断力推想无论对宏观世界还是微观世界，都是无限伸展的。尽管有限的观念在人们思想中不断出现，但这种观念总是挡不住无限的推想和思想穿越。思维总在追问，在我们所处的宇宙之外是什么？基本粒子的更深处是什么？宇宙大爆炸的之前是什么？等等。

无限的推想在人们的头脑中，产生着“恶无限”和“潜无限”的观念。

1、所谓恶无限，如，整体和局部在无限系列的展开中没有大小之分。如，自然数包含了奇数和偶数，在这样的关系中，自然数是整体，奇数和偶数是部分。然而，在集合对应中，奇数和偶数的无限序列可以平行地一一对应自然数的无限序列。如自然数1、2、3、4、5、6、7、8···N是一个无限系列，奇数1、3、5、7、9、11、13···N亦是一个无限系列；偶数2、4、6、8、10、12、14···N也是一个无限的系列。用奇数1、3、5、7、9、11、13···N 或偶数2、4、6、8、10、12、14···N一一对应自然数1、2、3、4、5、6、7、8···N ，在彼此对应的无限系列延伸中，它们是没有无限的大小之分的。在无限的集合对应中，整体大于部分，部分小于整体是不存在的。由此在逻辑上出现了一种违反常识的恶无限。

又如，自然世界，在微观世界的推想中，分子的深处有原子，原子的深处有质子、中子、电子，质子、中子；电子的深处有夸克，夸克的深处有多维卷曲的弦，弦的深处又有更为深处的东西，等等，没有一个最终的根基形态；在宏观世界的推想中，地球外有太阳系、太阳系外有银河系，银河系外有总星系，总星系外有宇宙，宇宙之外又有什么，等等，始终没有一个最终停止的界限。思想不仅要问，这个世界究竟是个什么呀？！使我们陷入了一种世界最终是什么的恶无限中。

2、所谓潜无限，无论自然数的集合推想，奇数的集合推想，偶数的集合推想，分数的集合推想，素数的集合推想，圆周率的集合推想，收敛级数的集合推想，都潜在着它们各自的无限系列。在人类技术和产品创造的集合推想中，创造是一个潜无限，不断会有新的技术和产品创造的涌现，显现一种潜无限的魅力。

逻辑学家们总在设想把思想的潜无限转化为逻辑的实无限。莱布尼茨设想的标准语言公式，使思想的潜无限，能够通过标准公式的应用，得到一种无限集和有限集对应的逻辑处理，成为一种逻辑的实无限。电子计算机根据这种设想的原理，把无限集的信息一一转化为二进制数据，输入计算机的有限集程序对应处理，得到逻辑必然的结果。在计算机背后的逻辑原理实际上就是莱布尼茨的集合对应逻辑的设想。正如美国学者马丁戴维斯在《逻辑的引擎》所说，“计算机从20世纪50年代的塞满整个房间的庞然大物，逐渐演变成今天轻巧而强大的能够完成各种任务的机器，在这整个过程中，其背后的逻辑始终保持如一。这些逻辑概念是几个世纪以来数位天才思想家一步步发展出来的。”

三

集合对应的逻辑大体有三类。一是有限集和有限集的对应逻辑，二是无限集和无限集的对应逻辑，三是无限集与有限集对应的逻辑。

1、有限集和有限集对应处理的逻辑。

例如，一辆旅行车有50个座位，这是一个有限集合；相对应的另一个有限集合是一批游客。这两个有限集合的一一对应关系是，每个游客都占有一个座位。在这样的一一对应关系中，这辆旅行车的满员是50名游客。如果发现有2个座位空着，就可以必然推定车上只有48个游客。如果发现有3个座位空着，就可以必然推定车上只有47个游客。这样的必然推定的有效性是，在旅途中旅客下车再上车，就可以从座位是否有空缺上，逻辑必然地推定旅客是否全部上车或还少了几个旅客尚未上车。

又如，以一箱10个盒子为有限集合，每个盒子有十个格子装10支针剂，一箱10个盒子则以100支针剂为数量合格。以此为有限集合进行检查验收，10个盒子全装满了针剂，有限集合对应的逻辑必然判断是，10个盒子里实有针剂100支。如果发现有8个盒子装满了针剂，另有2个盒子，一个缺少了1支针剂，一个缺少了2支针剂，有限集合对应的逻辑必然判断是，这箱10个盒子里只有97支针剂。

再如，计算机颜色分辨率，以2的次方为表达。2的8次方为256种颜色，2的16次方为65536种颜色，2的24次方为 16777216种颜色，2的32次方为4294967296种颜色。在这里，256种颜色的有限集对应2的8次方有限集，65536种颜色的有限集对应2的16次方有限集，16777216种颜色的有限集对应2的24次方有限集，4294967296种颜色的有限集对应2的32次方有限集。

2、无限集和无限集对应的逻辑。

无限集合和无限集对应产生许多复杂的逻辑关系，甚至出现相反的疑难。如，在与自然数整体的无限集对应中，奇数和偶数等子集的无限集可以一一对应自然数的无限集，在这样的无限集和无限集对应关系中，自然数整体集和它的各个部分的子集没有了大小之分。

在深入研究中，人们发现情况并不完全这样。在数学中，实数集和自然数集是不能一一对应的。如，π这个实数在自然数的数轴无限中是找不到它的对应点的，也就是说在自然数集的数轴上是无法标出的。于是就出现了实数集大于自然数集的问题。

无限集的探究，又带来了超限序数，实无限以及集合悖论等等的逻辑概念，绞尽了许多优秀逻辑学家的脑汁。

怎样来理解这些的问题呢？

如果在一个线性的平行轴上，把奇数和偶数二个自然数子集，同自然数全集一一对应，由于奇数这个自然数子集是一个无限系列，就会因奇数子集的无限系列，永远轮不到后位序列的偶数子集同自然数全集发生对应。为解决这个问题，德国数学家康托尔设想和创立了一个超限序数，并用希腊字母的最后一位ω为符号标识。康托尔试图通过超限序数ω，以连续统的方式实现奇数子集和偶数子集与自然数全集的对应展开。

康托尔所设想和创立的超限序数，其目的是力求实现潜无限到实无限总体映现。能否给出潜无限到实无限的证明呢？康托尔充满了信心，但英国哲学家罗素却提出了一个著名的集合悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即AA。这就是说一个集合的本身是否是这个集合中的一个成员呢？这个疑难给了康托尔的集合概括全体的集合论原则重重一击，造成了一场无以实现集合全体所在的逻辑危机。逻辑学家们最终用了一个“类”的指谓记号把罗素的集合逻辑悖论“消除掉了”，但这个“类”的指谓记号仍没有把问题更为透彻地解除和阐明。

3、无限集与有限集对应的逻辑。

中国古代的《易经》以阴阳二爻的六十四卦为有限集，以此对应万千世界的无限事态的发生和涌现，就是一种有限集与无限集对应的逻辑运作。但这种对应关系，即世事的无限集和卦象的有限集的一一对应是非逻辑，在易经中既是言说的编定，又是可见风使舵解释的。

现代电子计算机技术的出现，通过1和0的二进制数码转换，有限集平台程序和生态程序的逻辑编程，对应处理输入的各种无限集数据信息的输入，即通过语音的、文字的、图形的、设计的、计算的、管理的、作业的、视频的、音频的、搜索的、统计的、智能的、网络的等等有限集平台和生态的程序逻辑编程，对应处理无限集数据信息输入，生成了电子计算机的基础原理---集合对应逻辑。

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