数论与排列组合（每天一点统计学）

田忌赛马的故事众所周知，在这里暂且不讨论马的优劣、谁输谁赢的问题。假设将田忌的三匹马和齐威王的三匹马一起赛跑，这六匹马一共会有多少种排位方式呢？

数学里把这种统计对象排位方式确切数目的计算方式叫做阶乘。计算公式如下：

n！= n*（n-1）*(n-2)*(n-3)*......*3*2*1

因此，六匹马就会出现720（6*5*4*3*2*1=720）种排位方式。

注意：

• 0！=1！=1；

• 任何大于或等于2的整数的阶乘，均为偶数；

• 如果n个对象做圆形排位，那么可能的排位方式为（n-1）！；

两匹红马、两匹黑马和两匹白马一起赛跑，如果不关心同一颜色的马排名先后的问题，最后有几种排名方式呢？

这是一个按类型排位的问题。假设要对n的对象按类型排位，其中有一类对象共计k个，另外一类对象共计j个，那么这种情况下排位方式的计算公式如下：

明白了阶乘是怎么回事，排列问题就更好理解了。还是以赛马作为例子：有20匹马赛跑，猜中前三名正确排名的概率有多大？

解释：要猜中正确排名，首先需要算出前三名的排名数目。占据第一名的方式有20种，占据第二名的方式有19种，占据第三名的方式有18名。那么前三名的排名总数是：20*19*18 = 6840。于是，猜中前三名正确排名的概率为1/6840。

从这个例子概括出排列的几何定义：从n个对象群体中取出r个对象进行排序，并得出排序方式总数目。计算公式如下：

计算排列数目时，需要考虑对象的顺序方式，而组合是不考虑对象顺序问题的。因此组合的几何定义为：从n个对象中选取r个对象的选取方式的数目。这时不必知道所选对象的确切顺序，计算公式如下：

排列与组合的区别如下：