无理数运算知识点（基础数学系列文章）

尽量不要去研究高斯欧拉做不出来的数学问题

----题记

(1)超越数远远多于有理数

无理数，实数域内有理数集的补集的元素，英文称之为irrational number，直译过来是不可理喻的数的意思。深究起来，有些无理数是名副其实的不讲道理的数，这一部分无理数称之为超越数。稍微能讲一些道理的无理数，称之为代数无理数。

区分一个数是超越数还是代数无理数，其标准为看这个数是不是系数为有理数(整数)的多项式的复数根。如果x为多项式

超越数不可能是系数为有理数(整数)的多项式的复数根

的复数根，那么x为代数数。否则x为超越数。

最早被数学家发现的无理数是根号2，数学家们在三角形上发现了这个数。请看视频

最有名的超越数有可能是圆周率

圆周率

数学家们已经证明，几乎所有的无理数都是超越数，惊喜不惊喜？

(2)无理数的困境

a.薛定谔的无理数

数学家们很难证明任意给出的一个数是无理数还是有理数。既有的证明方法一般用反证法，比较单薄。

你可能会奇怪，不是有了通用的判别无理数的方法么？用两个整数的比一比。两个整数比一比的方法看起来简单易用，为有理数而来，对无理数不实用。

数学家证明了如果正整数n不是完全平方数，那么

有理数无理数

不是有理数是无理数。这个定理的局限性很明显，不适用于正整数之外的数。

数学家还证明了几乎所有大于1 的有理数都是某个无理数p的p次方。这证明看起来很不错了，但用起来依然有很多束缚。怎么找出那个p？(0, 1)里不可数的无穷多的数怎么办？

数学家证明了，如果a和 b都是代数数，a不等于0和1 ，并且b为无理数，那么a的b次方一定是超越数。利用这个定理可以反向枚举出很多无理数，难点在得先说明a与b是不是代数数，不知道的话还用不了这个定理。只有a, b符合定理要求的性质了才能给出一个无理数。比如这些数是由这个定理找出来的：

超越数transcendental number.

还有其他定理，刘维尔定理等等，各有各的用处，各有各的局限，不一一列举。

b.薛定谔的运算性质

请看无理数已知的一些运算性质：

有理数？无理数？

不可理喻的无理数，越说越探不出究竟，捏造了这么一个词语：薛定谔的无理数。至于这个薛定谔是哪个薛定谔，还请读者们来评议。数学家一直陷在无理数的薛定谔困境里，等着天才少年来脱困。数学家需要无理数的万有引力公式，不喜欢叠加态。

你是那个少年天才么？

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