正态分布的数学期望推导过程（正态分布公式的推导过程）

转发一个通过斯特林公式推导正态分布的方法。内容来自网络。

本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》。

棣莫弗——拉普拉斯定理：

这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。

斯特林公式：

根据斯特林公式,

得到：

对于0<x<1

由于

这个结论也可以表述为以下的形式：

假设

这里只给出等价关系，离相等还差一步。如果中间画了等号，那么公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了，即二项分布以正态分布为极限分布。从等价到相等，就是微积分证明的主要思路——略去高阶无穷。