相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)

一、什么是相似三角形?

定义:三个角分别相等,三边成比例的两个三角形是相似三角形。

通俗地讲,形状相同的两个三角形就是相似三角形。那全等三角形是不是相似三角形呢?是,全等三角形是相似三角形的特殊情形,即相似比是1:1的相似三角形,全等三角形是特殊的相似三角形。

二、相似三角形的性质

1、对应边成比例,对应角相等;

2、对应高、中线、角平分线的比都等于相似比;

3、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

三、相似三角形的判定

1、平行

平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)(1)

说明:如果严格按照定理字面意思理解,只包含左图的情形,但几乎所有参考书、PPT以及实际教学中把右图的情形也包括了。这个定理来源于平行线分线段成比例定理,左图相当于上/全=上/全,右图相当于上/下=上/下,所以这两种情形绝对可以直接用的,一个是像大部分参考资料那样,把这个定理延伸解读,理解为两边也包含两边的延长线(有些勉强),另外还可以看作平行线分线段成比例定理直接得出的结论,只是一个点那里的平行线省略了,这种说法曾在某套中考题或模拟题中出现过,参考答案上给的依据就是平行线分线段成比例定理。

2、AA

两角分别相等的两个三角形相似。

相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)(2)

3、SAS

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)(3)

4、SSS

三边成比例的两个三角形相似。

相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)(4)

5、HL

斜边和直角边成比例的两个三角形相似。

相似三角形的性质与判定进阶(相似三角形的性质和判定小结)(5)

这种判定方法并不是以定理形式明确给出,所以不能直接用于解答题中,但可用于填空选择。

四、小结

1、全等三角形是特殊的相似三角形;

2、性质中用的比较多的就是第一条:相似三角形对应边成比例,对应角相等;

3、判定中用的比较多的主要是前两条:平行和两角相等;

4、AA、SAS、SSS、HL只是为了记忆方便,对比三角形全等做的简写,正式书写时不能用;

5、要想在解题中熟练运用相似的性质和判定,首先必须把性质和判定记住(理解性地记),然后在解题时结合题目中的已知条件,选择合适的性质或判定方法。

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