初中数学全部定理方法（如果这个定理学会了）

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三角形的中位线定理不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系.利用三角形的中位线定理可以解决许多与三角形相关的问题。

连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

题目中有中点，特别是一个三角形中出现两边的中点时，我们常考虑运用三角形的中位线来解决问题。具体操作时，要先找到三角形的中位线，然后利用中位线得出线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的关系，从而求出线段的长。下面老师通过例题讲解中位线定义的应用。

例:已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，

Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF，点M是AF的中点，连接MB，ME.

⑴ 如图，当CB与CE在同一直线上时，求证:MB//CF。

⑵ 如图，若CB=a,CE=2a，求BM,ME的长。

[解答]

证:⑴ 方法一 如图1a延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点.

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM//CF。

方法二 如图1b，延长BM交EF于点D

∵∠ABC=∠CEF=90°,

∴AB丄CE,EF丄CE,

∴AB//EF，

∴∠BAM=∠DFM.

∵点M是AF的中点，

∴AM=MF.

∵在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM,AM=FM，∠AMB=∠FMD，

∴△ABM≌△FDM(ASA)，

∴AB=DF.

∵BE=CE-BC,DE=EF-DF,

∴BE=DE,

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°.

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB//CF。

[题干分析]

证法一：如图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；此方法直接运用中位线定理，也最简单。

证法二：如图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM,根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等。

再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可得证，方法虽然有点复杂，但可以拓展我们的解题思路，锻炼我们驾驭知识运用的能力。

解⑵:方法一 如图2a，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a,

AC=CD=√2a，

∴点B为AD的中点，又点M为AF的中点，

∴BM=½DF

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=2√2a,

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=½AG.

∴CG=CF=2√2a,CA=CD=√2a,

∴AG=DF=√2a，

∴BM=ME=½×√2a=√2/2a

方法二 如图,∵CB=a,CE=2a，

∴BE=CE-CB=2a-a=a.

∵△ABM≌△FDM,

∴BM=DM.

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=√2/2BE=√2/2a.

[题干分析]

解法一:如答图2a所示，作辅助线，推BM、ME是两条中位线；再根据中位线的定理求解即可

解法二:先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM丄BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；

[解题反思]

本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判与性质和等腰直角三角形的性质。作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点。

三角形的中位线与中线的区别:三角形的中位线的两个端点均为三角形边的中点，它与第三边平行且等于第三边的一半；三角形中线的一个点是一边的中点，另一个端点是这边所对的顶点，它把三角形的面积二等分。

三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，二是数量关系。位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段之间的倍分关系。

每个三角形都有三条中位线，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个三角形的面积为原三角形面积的四分之一。

综上所述，三角形的中位线定理的灵活远用，可以帮助进行边角的计算或推理论证，解决复杂的几何综合题。你们认为呢？

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的方法是最棒的。喜欢文章记得分享哦！

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