从实际去理解变量的函数变化关系是什么 从实际去理解变量的函数变化关系

要理解各种自然现象及其规律，就需要通过数学的方法要分析其变量之间的关系，对于确定性的关系我们可以用函数、导数、积分来描述。

汽车起动的快慢是评价汽车性能的重要指标．汽车起动的快慢用车速从0增加到100km/h所需要的时间来表示（为了简化计算，100km/h=28m/s，汽车加速过程看作做匀加速直线运动）。假设汽车从速度为零增加到100km/h所用的时间为7s，求得汽车加速过程中的加速度为：

速度可以理解为行走的路径对于时间的变化率，加速度就是速度对于时间的变化率。

汽车品牌0-100公里加速排行榜：

1 布加迪 2.5秒

2 Ultima2.6秒

3 SSC Standard Aero2.78秒

4 法拉利FXX2.8秒

5 Saleen S7 Twin Turbo2.8秒

汽车加速快的原因：

一款车要想跑得快的话首先必须要有好的发动机，功率大（保证加速的持续性和极速）扭矩也得大（加速快），同时最大功率最好在高转速，最大扭矩在中低转速（现在有的车甚至可以做到在1500转之后的任何转速都能爆发出最大扭矩）；

其次要有好的变速器和发动机匹配，档位越多并不一定越好，最能发挥发动机性能的变速器才是最合适的；

加速度a=f(t)＝4t的图像：

上图的函数图像是一条直线，我们称这样的变化关系为线性关系。

当自变量t在某一点增加dt，f(t)会增加f(t dt)-f(t)，改变量f(t dt)-f(t)与dt的比值也就是函数的变化相对于自变量的变化的快慢（比率），也就是“变化率”：

我们求某一个时间段的平均速度，自然是时间区间越短，越接近实际的速度。在某一时间点t0，当dt→0（微分的概念）时，即可求得t0时间点的瞬时速度：

上式的dt（dt→0）就是自变量的微分，相应的f(t dt)-f(t)就是因变量（函数）的微分。

当dt→0（微分的概念），上面比值的极限在微积分中就叫导数，用f'(x)表示。

我们发现对于函数f(t)=4t，不管自变量t在哪个点，当自变量改变1时，函数都是改变4。所以对于线性关系的变化率，f'(x)=4，是一个常量。

当时间从0秒到7秒时，速度达到28m/s。7秒经过的路径s等于x轴、y=7、f(t)=4t围成的面积，其值为：

我们可以用自变量微分dt（dt→0）与函数f(t)的积在[a,b]区间的累积求和来计算上述的面积，这在微积分学中称为定积分。

上面的思路用定积分表示就是：

同一组变量的定积分、函数、导数肯定有相关关系，是什么样的关系呢？牛顿和莱布尼茨发现求一个函数的导数与求该函数的积分是一个互逆的过程，并将其描述为微积分分基本公式：

我们要求一个表达式F(t)，其导数F'(t)刚好等于f(t)，也就是要让F'(t)＝4t，可求得F(t)=2t²，

(2t²)'=4t。

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汽车从静止开始加速，然后慢慢停下来，速度与时间存在函数关系，如有v(t)=t(14-t)，图像如下：

以上的图像，f(t)=t(14-t)的图形是一条曲线，我们称之为非线性关系或曲线关系。

所以我们来考虑t(14-t)与t的变化率（导数）。与线性关系的变化率是常量不同，非线性关系的变化率变得复杂。我们使用

来求解，可求得t(14-t)与t的变化率是：14-2t。当t取不同值时，反映f(t)在该值附近相应的变化量是14-2t。当t=7时，该值附近的变化率为0。t在7的前段是正相关关系，后半段是负相关关系。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率 。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

通过导数可以判断函数的单调性、凹凸性、最大值、最小值。

曲线下的面积，就是汽车从静止到加速，再到减速，再停下来后经过的距离。

我们做一个大概的估算，时间是14秒，平均速度估计33m/s，则距离大概是462m.

如果按微积分的思路：

由(t(14-t))'=14-2t＝0，求得当t=7m时，汽车的最大速度是49m/s。速度v∈[0,49]，时间[0,14]。

我们要求一个表达式F(t)，其导数F'(t)刚好等于f(t)，也就是t(14-t)：

将t=14代入，得到距离：457m

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综合时间、速度、路径等变量，其确定性的关系有函数关系、导数关系、积分关系，如下图：

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在经济领域，经常利用导数进行边际分析和弹性分析。

4.1 边际分析

例如，已知某产品的产量为q时总成本函数为：

c(q) = 1500 1/1200q²（百元）

则其导数c'(q)=1/600q

当产量是900件时，其成本为150元。

它说明当q从900件改变（增加或减少）1件时，成本要改变150元。

通过成本函数和收益函数的分析可以确定产量的盈亏平衡点，以及做出增产和减产的策略。

4.2 弹性分析

在经济学中，常常需要知道的是当x在x0改变1个百分点时，y在y0处会改变多少个百分点，即要考虑dy/y0与dx/x0之比，称为弹性函数，推导出其公式为：

弹性函数可以理解为一种相对变化率。

例如，某商品的市场需求函数为d =f(p) = 15-p/3

(p为价格，单元是百元，d为需求，单位是台数)

f'(p) = 1/3

则弹性函数为：

在经济学上，价格上涨时，需求一般会下降，因此我们定义需求价格函数=－弹性函数，所以需求价格函数为：

当p=9时，每上涨1%，该商品的需求量在d(9)=12的基础上下降9/(45-9)=0.25个百分点。由于0.25<1，所以当价格上涨时收益能够增加。

－End－

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