特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)

作者 | 扬帆起航 552来源 | 小谜题大世界

我们上期讲到平行四边形的 3 种密铺方式, 它们都是在一个方向上平移,另一个方向上平移、旋转 180° 或滑移反射。那么我们自然会问,如果是两个方向上都是旋转 180° 或滑移反射,是否存在其他的基础图形的密铺方式呢?

其实这样思考比较麻烦,更好的是以单个平行四边形作为考虑对象。在 3 种平行四边形的密铺方式中,都是有一组对边全等,另一组对边分别是全等、各自中心对称以及滑移反射。

那么,如果不要求一组对边全等,会有哪些其他情况呢?

1.两组对边(即四条边)各自中心对称。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(1)

不难看出,这是基于任意四边形的密铺,因为不同的边之间没有直接的约束关系(除了构成四边形以外)。

2. 两组对边滑移反射。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(2)

可以推出,这是基于矩形的密铺。因为首先,滑移反射就意味着两组对边相等,即平行四边形。然后,还是由于一组对边滑移反射,可以推出 α=β,又 α β=180°,故 α=90°。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(3)

3. 两组邻边滑移反射。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(4)

其实这就是筝形的密铺,在第一期出现过。可能有人会说,上图不是镖形吗?怎么成筝形了?事实上,筝形分凸筝形和凹筝形两种。其中,凹筝形又称鸢(yuān)形。

4. 一组对边滑移反射,另一组各自中心对称。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(5)

其中单个四边形的一组对边相等。

5. 一组邻边滑移反射,另一组各自中心对称。

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(6)

其中,单个四边形的一组邻边相等。

参考文献:

  1. 凹筝形.科普中国-科学百科

  2. http://en.tessellations-nicolas.com/method.php

特殊的平行四边形之矩形(镶嵌画中的数学03)(7)

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