tanx和x的大小关系(tanx比x大得多还是x比sinx大得多)

我们知道,当x(0,π/2)时,sinx<x<tanx。那么,你是否知道谁比谁大得更多呢?今天老黄分析的高数题就跟这个不等式有关。可以说是这个不等式的一个变形,希望更深一层。探究tanx比x大得多,还是x比sinx大得多。即:

tanx和x的大小关系(tanx比x大得多还是x比sinx大得多)(1)

证明:tanx/x>x/sinx, x∈(0,π/2).

分析:这里至少有两种思路。一是求不等式两边的比,只要比值大于1就得证。另一种思路是求它们的差,只要差大于0也就得证了。两个思路不一定都行得通,或者说,有难有易。这里选择求它们的差,然后再求差表示的函数的导数,甚至是二阶导数,来证明它们的差大于0.

在求不等式两边的差之前可以先将不等式做一个适当的变量,降低求解的难度。因为tanx=sinx/cosx,所以tanx/x=sinx/(xcosx). 不等式两边同时乘以sinx,就得到:(sinx)^2/cosx>x^2.

再记辅助函数f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2. 并求f'(x)=sinx/(cosx)^2 sinx-2x. 观察发现这时还无法得到结论。

所以继续求f"(x)=cosx 1/cosx-2 2(sinx)^2/(cosx)^3,

其中cosx 1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0,x∈(0,π/2).

所以f"(x)>0,即f'(x)在(0,π/2)上是严格增函数,而f'(x)在x=0处连续,且f'(0)=0,因此f'(x)>0. 即f(x)在(0,π/2)上也是严格增函数,而f(x)同样在x=0处连续,且f(0)=0,

所以f(x)>0,即(sinx)^2/2>x^2. 这样就证明了在(0,π/2)上,tanx比x大得多,而x比sinx大的就相对没有那么多了。下面组织解题过程:

证:原式等价于sinx/(xcosx)>x/sinx,即(sinx)^2/cosx>x^2,

记 f(x)=(sinx)^2/cosx-x^2,则f’(x)=sinx/(cosx)^2 sinx-2x;

f"(x)=cosx 1/cosx-2 2(sinx)^2/(cosx)^3,其中cosx 1/cosx>2, 2(sinx)^2/(cosx)^3>0,x∈(0,π/2).

所以f"(x)>0,即f'(x)在(0,π/2)上是严格增函数,

而f'(x)在x=0处连续,且f'(0)=0,因此f'(x)>0, x∈(0,π/2).

即f(x)在(0,π/2)严格增,且f(x)在x=0处连续,f(0)=0,

∴f(x)>0,x∈(0,π/2). 即(sinx)^2/2>x^2,∴tanx/x>x/sinx, x∈(0,π/2).

另一种通过求证不等式两边的比大于1的方法,有兴趣也可以自己尝试一下。重要的不是结果,而是探究的过程!

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