函数有界性分析（数学分析第六讲）

第六讲 函数的有界性

有界函数

定义1设f定义在D上，

若∃M∈R，∀x∈D，f(x)<=M，则称f在D上有上界；

若∃L∈R，∀x∈D，f(x)>=L，则称f在D上有下界。

有上下界的等价条件：

f在D上有上界 <=>∃M>0，∀x∈D，f(x)<=M

f在D上有上界 <=>∃L>0，∀x∈D，f(x)>=L

定义2

设f定义在D上，若∃M>0，∀x∈D，|f(x)|<=M，则称f在D上有界。

易证：f在D上有界 <=> f在D上既有上界又有下界。

若∀M∈R，∃x0∈D，f(x0)>M，则称f在D上无上界；

若∀L∈R，∃x0∈D，f(x0)<L，则称f在D上无下界；

若∀M∈R，∃x0∈D，|f(x0)|>M，则称f在D上无界。

类似的，无上下界的等价条件：

f在D上无上界 <=>∀M>0，∃x0∈D，f(x0)>M;

f在D上无下界 <=>∀L>0，∃x0∈D，f(x0)<-L;

f在D上无界 <=>∀M>0，∃x0∈D，|f(x0)|>M。