高中数学椭圆的弦长公式（椭圆焦半径公式的证明及运用）

命题：若椭圆的焦点为

，离心率为

为椭圆上任意一点，则有

。证明：如图1，椭圆的准线方程为

和

。由椭圆的第二定义得

，化简即得说明：若椭圆的焦点在

轴上，则有

。我们把椭圆上的点到两焦点的距离

称为焦半径，而

（或

）、

（或

）称为焦半径公式。

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

一、用于求离心率例1如图

为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于

四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率

。分析：如图，连

，则

，由焦半径公式得

，即

。所以

，所以

。

二、用于求椭圆离心率

的取值范围例2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。分析：设的坐标为

，则

由得

故

，即

，又

。所以

。 三、用于求焦半径的取值范围例3若是椭圆

上的点，为椭圆的焦点，求

的取值范围。分析：不妨设为椭圆的左焦点，而

，则

。故

。所以

。 四、用于求两焦半径之积

的最值例4若为椭圆

的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。分析：易知

由

知

，所以的最小值为

，最大值为

。 五、用于求三角形的面积例5 若是椭圆

上一点，为椭圆的左、右焦点，且

，求

的面积S。分析：易知

。由余弦定理得

。解得

。所以

六、用于求点的坐标例6 若为椭圆

上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。分析：由

，

及得

，解得

，所以

。 七、用于证明定值问题例7已知

为椭圆上两点，

为椭圆的顶点，F为焦点，若

成等差数列，求证：

为定值。分析：不妨设

，由成等差数列得

，即

。化简得

，

所以为定值。

八、用于求角的大小例8 如图3，设椭圆

与双曲线

有公共焦点，为其交点，求

。

分析：设的坐标为

，椭圆与双曲线的离心率分别为

，则

，

，消去

得

，

。所以

所以

。 九、用于求线段的比。例9过椭圆

的左焦点作与长轴不垂直的弦

的垂直平分线交

轴于

，则

。分析：如图4，设

的坐标分别为

，AB的中点为

，则

。

由

两式相减并化简得

。

所以

。

所以AB的垂直平行线方程为

。令

，则

，故N的坐标为

所以

，所以

。

--END--

,