平行线的五大定理（称平行线能相交的数学奇才）

数学在大多数人的心中，是一门玄妙又高级的学科。

随着年龄和学段的升高，我们就愈加感觉到数学的困难，往往在这时大家就会把学习数学失败的原因归结于“天赋”二字。虽然这种说法有推卸责任的意味，但是不得不说学习数学并从中获得快乐，真的需要天赋的加持。

在俄国就有这样一位数学奇才，他的名字叫做罗巴切夫斯基。这位奇才从小带着对数学的兴趣，一路探索，最终提出了一个旷世骇俗的结论“平行线可以相交”。

罗巴切夫斯基

这一理论不仅引起了学界的抵制，他本人也因为质疑和谩骂郁郁而终，但是历史从来不会辜负“努力的人”，12年后这一理论被证实，罗巴切夫斯基也得以沉冤昭雪。

罗巴切夫斯基的全名为尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基，是一位俄国数学家，出生于1792年12月1日，逝世于1856年2月24日。作为一位很早就成名并且在学术上有诸多成就的数学奇才，他仅仅在人间逗留了64年。他的前半生算得上是顺风顺水，但是后半生却遭到质疑郁郁而终，罗巴切夫斯基传奇的一生究竟是怎样的？就让我们来一起看看吧。

罗巴切夫斯基从小就表现出对数学的热爱，对于任何数学迷题都愿意孜孜不倦地求解。这或许与他的父亲有关，因为他的父亲也是一位数学家，在多年的熏陶之下，罗巴切夫斯基毅然决然地走上了研究数学的道路。

1807年时他进入了喀山大学进行学习，喀山大学不仅培养出了文学界的泰斗列夫·托尔斯泰，连红色苏维埃的创始人列宁都毕业于那里。有着优越天赋和坚韧毅力的罗巴切夫斯基在学习四年之后顺利获得了物理数学硕士学位，并且留校成为了一名大学老师。

喀山大学

从这里来看，他算得上是年少得志，如果就这样按部就班的教书、科研，那么成为一名坐拥桃李三千的老教授不成问题。可是，罗巴切夫斯基却选择了另外一条路，也是这个选择使得他的后半生遭到了无数人的谩骂和诋毁。

1815年时任喀山大学老师的罗巴切夫斯基在课余时间开始研究平行线理论，这一理论正是欧式几何当中的第五条公设，也是诸多数学家当中不可愉悦的大山。无数人想给出第五公设的证明，但是都失败了。综合考虑前人的失败原因后，他决定反其道而行。利用反证法，成功证实了第五公设是无法被证明的。

可是，他提出的“过平面上直线外的某一点，至少可作出两条直线与已知直线不相交”的论点与欧式几何当中的论述的“过平面上直线外的某一点，有且只有一条与该直线不相交的直线”完全相悖。并且在这一理论当中，过那一点所做的两条平行线是可以相交的。

这引来了大多数人的嘲笑，其实以我们在中小学的数学学习当中学到的平面欧式几何来看，罗巴切夫斯基的论述就像是无稽之谈。这种对于传统学说的挑战，将他推向了风口浪尖，一时之间谩骂声纷纷袭来，大家称他的发现就是一种“伪科学”。

1835年他写道：“从欧几里得起，两千年来枉费心机的努力，不得不使我怀疑在这个概念本身中并不曾含有那种真理，就是我们想要证明，并且像其他物理定律那样，只能用实验来证实的真理。

这种打破常规公理的理论，就像当年的哥白尼提出的日心说一样，是有悖常理的，但是后世的研究却都证明了他们的想法有其正确性。因此，罗巴切夫斯基也被称为“几何学上的哥白尼”。

从罗巴切夫斯基的生平简介来看，他这一生都在为证明自己的理论而努力，据说在晚年时他已经双目失明，可是即便这样，他也依靠着口述授写编撰出了《泛几何》这本书。从最初的证明欧几里得第五公设具有不可证性，到公布自己的新几何，罗巴切夫斯基的每一步都走得十分坚定。

他提出的新几何也被后人称为“罗氏几何”，那么罗氏几何当中究竟讲了些什么呢？首先，就是平行公设和平行角，这一点我们在上文当中已经为大家介绍过了，这其实是基于罗氏几何的设定界面。与欧式几何平坦的0曲率平面相比，罗氏几何实际上是在“马鞍面”上的，在这一模型当中曲率是负的。而这里所说的平行线可以相交，其实指的是通过那一“点”所做的两条平行线。

其次，罗氏几何当中的三角形也与众不同。三角形的内角和竟然是小于180°的，并且在这之中不存在大小不同的相似三角形，只能有“全同三角形”。我们用多年以来学习的欧几里得几何思维是无法理解这一说法的，不过如果能将这一三角形放在马鞍面上进行直观还是能理解一二。

我们普通人无法理解的事情，不代表着专注研究数学的教授们不懂。可是他们始终带着偏见的有色眼镜来审视这一新理论，最终在听完罗巴切夫斯基的汇报之后，将这一理论完全否决。

这一否决无疑是将罗巴切夫斯基多年的研究成果一并否定，可是这一理论并非“空穴来风”，而是有理有据的。但是学界忽视了证据，只将矛头对准它与欧式几何的对立点疯狂攻击。

这之后，铺天盖地的嘲讽和谩骂向这位学者袭来，这之中不仅有普通人，还有不少当时的杰出数学家，这些谩骂使得罗巴切夫斯基从一位声名斐然的学者变成了“制造谬论的伪学家”。

在这样的夹击之下，晚年的罗巴切夫斯基不仅在学术研究上无法发表自己的论文，连过往最热爱的教学事业也被人民教育部剥夺。此外，他的大儿子也患病去世，白发人送黑发人的结果使得坚强的罗巴切夫斯基更加抑郁，眼睛也逐渐失明，最终郁郁而终。

那些反对罗氏几何的人原以为一切都会随着罗巴切夫斯基的去世而结束，却没想到12年之后的1868年，意大利的数学家贝尔特拉米却证实了罗氏几何的科学性。

贝尔特拉米和贝尔特拉米映射

他发表的《非欧几何学的实际解释》，利用当时微分几何的最新成果证明了关于伪球面上的内在几何学与罗氏几何一致。

自此，罗氏几何才真正被人们所认可，而非欧几何也从假说变成了定论。可惜的是，这迟来的公道罗巴切夫斯基本人已经看不到了，这大概就是时代的愚昧对通晓真理英雄的亏待吧，纵使遗憾，可是在所难免。

罗氏几何

黎曼几何

罗氏几何也可以被称为非欧几何，值得一提的是，在这之后又有无数学者提出了更多有关非欧几何的设想，其中最著名的就是黎曼几何。

黎曼几何的创始人正是德国的数学家黎曼，他在1854年时发表了论文《论作为几何学基础的假设》，标志着黎曼几何的正式创立。黎曼几何的模型既不是欧式几何当中平直的界面，也不是罗氏几何中负曲率的马鞍面，而是设定在球面上。

黎曼

因此，在黎曼几何学当中不存在“平行线”，或许是并未像罗巴切夫斯基一样直接否定欧式几何第五公设的可证明性，所以并未引起保守派的强硬抵制。前文中我们有提到欧式几何是在0曲率空间中的几何学，罗氏几何则是在负曲率负曲率空间中的几何学，而黎曼几何就是在正曲率空间当中应用的几何学。

多年以来，我们眼中的世界都是“横平竖直”的，因此仅仅利用欧式几何来理解日常生活中的种种现象就已足够了。但是当我们将目光放在宇宙当中或者原子核当中时，罗氏几何则更符合那一空间的设定。同样，黎曼几何的设定就代表着，它更适用于解决地球的航海、飞机航行等问题。

球面几何

所以，罗巴切夫斯基提出的新几何和黎曼几何都不代表欧式几何完全就是错的，只是它具有一定的局限性。当我们认识世界的角度改变了，就需要利用新的理论去解决新的难题，而不是墨守陈规，永远将目光放在最早的理论上。假如这样，科学就不会攀升，我们的文明也就无法进步了。

此外，爱因斯坦的广义相对论当中使用到的空间几何正是黎曼几何。从爱因斯坦所说的“弯曲的时空”来看，欧式几何的平直明显不适用，因此非欧几何的存在在这时就起到了至关重要的作用。

真理永远大于公理

人类的好奇心是与生俱来的，科学家们也正是怀揣着对这世界的好奇心在不断探索世界。从数学奇才罗巴切夫斯基的一生来看，纵使前路荆棘遍地，他也选择了坚守和直面。当无数人抨击他无视其他数学家的研究成果时，他也是缄口不言，只希望人们可以耐心认真地看看他的论据和成果，再作定论。

事实证明，正义虽然会迟到但是永远不会缺席。贝尔特拉米的研究使得有关历史几何的怀疑都被击溃，而1871年时德国数学家克莱因，更是利用射影几何的方法建立出了罗氏几何的平面模型，彻底证明罗氏几何的存在并不“矛盾”。后人的添砖加瓦也许无法被罗巴切夫斯基所看到，但是他对真理的不懈追求却在所有人的心中留下了“火种”。

射影几何

这世间本就不存在什么公理，从上帝创世到哥白尼提出的日心说，再从神造人到达尔文的物种起源。无数的真理击败了所谓的“公理”，科学本就需要不断地质疑、探索，才能得出新的结论。每一个成功的科学家都曾站在前人的肩膀上探索这个世界，也正是这样才使得他们发现更多的“真理”。

高斯的沉默

被冠以“数学王子”美誉的高斯想必大家都不陌生，他与罗巴切夫斯基其实是同一时代的人。或者严格来说，他是罗巴切夫斯基的前辈。高斯其实也在很早的时候就发现了“非欧几何”，可是因为惧怕教会和保守旧势力的责难，他选择了沉默不语。

高斯

高斯的踌躇不前代表着许多科学家在面对公理、真理之争时所做出的的另一种选择，人们也只能从高斯来往当中的书信当中窥见他对非欧几何的研究。罗巴切夫斯基成为了真理的殉道者，高斯却不具备这样的勇气，不过也有人认为他是被康德空间观束缚了。​

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