等比数列错位相减法技巧（等差乘等比数列求和）

高中数学有一类常见问题：数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，令cn=an·bn，要求数列{cn}的前n项和Sn.

通常，老师会讲用错位相减法来做（错位相减法在等比数列求和公式推导时已经学过），过程如下：

这种方法需要列的算式长，要做一次等比数列求和，特别是最后的化简整理比较复杂，常常容易出错。但大多数学生只知道这个方法。

下面分享一种新的解法，通过待定系数法来重新构造cn，然后实现“裂项相消”。

先看一个例题：

第一问这里就不说了，求出an=3^(n-1).

第二问如果用错位相减法，是这样的：

而如果用我们现在要讲的解法：

这么简单？！

那这种方法是只适用于这道题目呢，还是对等差乘等比数列求和这类问题都可以用？

我们仔细来看下构造这一步的详细过程。

相信你已经看明白了，只要{an}是等差数列，就一定可以像图中一样用待定系数法进行构造，使cn变成一个新数列{dn}的相邻两项之差。

对于上面这个例题，dn=(n-1)3^n，

n≥2时，cn=dn-d(n-1)，

c1=1，c2=d2-d1，c3=d3-d2，……

那对cn求和就相当于裂项相消了：

Sn=c1 c2 c3 …… cn

=1 d2-d1 d3-d2 …… dn-d(n-1)

=1-d1 dn=1-0 (n-1)3^n=(n-1)3^n 1.

为了讲解清晰，我们把运算过程完全展开了，实际上步骤并不复杂。

相比错位相减法，我认为这个方法是有优势的，你掌握了吗？