手拉手模型有几对全等三角形（几何原本第五卷比例）

在上篇文章，我通过《几何原本》第五卷中的命题1、命题2、命题5、命题6，介绍了《几何原本》是如何证明乘法分配率的。这一讲我继续带着大家学习《几何原本》第五卷中的命题3是如何证明乘法结合律的，乘法结合律用代数式子可表示为:m*(nα)=m*n(α)。

已知第一量A和第三量C分别是第二量B和第四量D的同倍量，分别取定A和C的同倍量EF和GH。

目标:证明EF和GH分别是B和D的同倍量。

证明:

1、因为EF和GH分别是A和C的同倍量，所以EF里有多少个量等于 A、GH里就有相等数量的量等于C。

2、将EF分成EK、KF，且都等于A；将 GH分成GL、LH，且都等于C、所以量EK、KF的个数等于量GL、LH的个数。

3、因为A和C分别是B和D的同倍量，且EK等于A，GL等于C，所以EK和GL分别是B和D的同倍量。

4、同理，KF和LH分别是B和D的同信量。

5、因为第一量EK和第三量GL分别是第二量B和第四量D的同倍量，且第五量KF和第六量LH分别是第二量B和第四量D的同倍量，所以第一量与第五量的和EF，第三量与第六量的和GH，也分别是第二量B和第四量D的同倍量。(第5卷 命题2)

6、综上，如果第一量和第三量分别是第二量和第四量的同倍量，如果再有同倍数的第一量及第三量，则同倍后的这两个量分别是第二量及第四量的同倍量。

证明完毕。

说明:该命题用代数式表示，相当于:

m*(nα)=m*n(α)，m*(nβ)=m*n(β)。

（假设B=α、D=β，A=n*B，EF=m*A，C=n*D，GH=m*C，则有EF=m*A=m*(nα)，GH=mC=m*(nβ)。）

好了，这一讲就到这了。

我是科学发现之历程，一个致力于科普数学、物理的科技媒体。想了解更多相关的知识，欢迎关注我的微信公众号科学发现之历程，期待你的到来。