有理数逼近无理数证明 是否存在连续函数

学习数学常常会碰到一些“莫名其妙、奇奇怪怪”的问题，比如下面这道习题：

问题很开放哦，你并不知道是否存在这样的连续函数 f 。依靠直觉判断？很多时候，直觉是数学的敌人。

怎么破？先看看如果存在这样的函数，那么会有什么样的性质呢？即，假设有连续函数 f 满足题目要求。

我们构造下列集合

可知E是 f 的值域，E1和E2分别是无理数和有理数的子集（所以两个集合不相交）。而且，

• 对于每一个y∈E1，都对应至少一个有理数x，使得f(x)=y。所以E1的势至多与有理数相同；

• E2是Q的子集，所以E2的势至多与有理数相同。

于是E是一个至多可数集。果真如此吗？

我们取x1∈Q，x2∈R\Q，记y1= f(x1)，y2= f(x2)。显然

• x1≠x2（一个有理数，一个无理数）

• y1≠y2（一个无理数，一个有理数）

但是，f 是一个连续函数啊，连续函数，连续函数！

所以E的势与实轴的势一样，这就尴尬了！矛盾！

所以，不存在这样的连续函数 f。