为什么圆的周长是圆周率乘直径（为什么圆的面积公式的导数是周长公式）

圆的面积公式：

圆的周长公式：

如果对圆面积公式的自变量r求导，则会发现

与周长公式完全相同，这是为什么呢？

对于一个半径为1的圆的面积，等同于底为2π（6.28），高为1的三角形面积。

我们可以这样理解r的变化对于圆面积的变化：

每当r增加一个很小的增量Δr（Δr 0）,圆的面积就增大一圈：

对应的三角形面积也增加一层：

圆增加的圆和三角形增加的层，都可以看成增加了一个2π（t Δt）的圆或线，于是无穷个这样的圆（总半径和度为1）叠加成为该圆的面积。

所以我们可以用定积分来求圆的面积（半径为1的圆）：

F(r)为f(r)的原函数

当数学引入微积分后，我们就需要理解“无穷个叠加成有限个”这个思想。

如：一个长度为1的线段是由无数个点所构成的；一个体积为1的正方体是由无数个面积为1的长方形构成的。

这个也可以这样想：无数个低维物体构成一个有限的高维物体。

点是一维的，线段是二维的；

长方形是二维的，长方体是三维的。

对于这个理解，以前的数学家们也是花了很长的时间，比如著名的“追乌龟（阿基里斯悖论）”：

阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”

这个悖论就是将追上的总距离无数细分：10 1 1/10 1/100 1/1000…...

《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

这个也是将一个有限长度的棰无限细分：1/2 1/4 1/8 1/16……