三次拉格朗日多项式插值法公式（简单理解拉格朗日插值法）

拉格朗日插值法的想法非常简单，比如

图1

图1中的每个点我们都知道它们的横坐标和纵坐标（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）,等等。现在的问题是，如何用一条曲线全部把它们连接在一起呢？

图2

图2表示把这些点连起来的效果。但P(x)的表达式是要我们求出来的，为此，考虑用多项式对P(x)进行近似：

那么，当只需要把两个点连起来的时候，很容易得出这条直线方程：

图3

其中L0(x)把x0代入的时候分子分母相同，也就是等于1，L1(x)把x1代入时分子分母相同。

当需要把三个点连起来的时候，那就要把（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）这三个点的坐标代入如下方程组：

图4

得到：

图5

对比图3和图5中L(x)的结构，会发现它们之间可能存在某种规律，如果继续把4个点，5个点的坐标代入图3的方程组，可以得出L(x)的表达式为：

图6

这个表达式的特点是：分子里面没有xi，而分母里面每一个乘积项都有xi。

进一步分析，P(x)可以写成如下形式：

图7

图7的特点是，当x=xi 的时候，P(x)=yi，也就是保证每一个离散的点都在曲线P(x)上面，而要保证这一点，只要当x=xi 的时候，Li(x)=1,其它的L(x)等于0就行了，即：

图6的多项式正好符合这个要求。

特别要注意的是，当xj=x0和xj=x1的情况，这个时候分子分母都只有一个乘积项，也就是图3的情形。