你能发现高斯求和的规律吗（从高斯求和说起）

在建筑工地上堆积了许多圆木条，从侧面看去它们堆积成一个三角形的样子。最顶层只有一根，第二层只有二根，第三层只有三根，……。

你想要知道这堆木料究意有多少条圆木？于是你开始计算：一、二、三、……。

可是这样计算并不太快，而且容易错误。为了能较准确和迅速得到堆积木条的总数，我们介绍一个古代中国和希腊劳动人民所知道的一个方法。但在还没讲这方法之前，请听一个著名的德国天文、物理和数学家的故事。

高斯（1777-1855），德国著名数学家，被誉为"数学王子"，不仅是最伟大的数学家之一，而且还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一.1843年，高斯的光学巨著《光的折射研究》出版，书中首次提出了光的焦距、焦面和焦点等概念.

高斯被公认为是19世纪最伟大的数学家，与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家。人们曾形容高斯为"能从九雷云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才"

据说高斯2岁时就发现父亲账簿上的一处错误，9岁时用对称的方法快速计算出1到100的整数的和.高斯在晚年常幽默地宣称：在他会说话之前就会计算.

1796年是高斯的奇迹年.3月30日，离19岁还差一个月的高斯给出了正十七边形可以用尺规作图的证明，发现了它与费马素数之间的联系，这一问题的证明不仅震撼了数学界，也震撼了高斯自己的心灵，从此他决心献身数学。

"你，大自然

我的女神

我要为你的规律而献身。"

形如

（p为正整数）

的和称为自然数幂和，也称为p阶自然数幂和.探究低阶自然数幂和的公式，历史上的数学家的智慧为我们提供了很好的借鉴.

1801年，年仅24岁的高斯出版了《算术探索》，开启了现代数论研究的新纪元，被誉为"数论的宪章"。

卓越的计算能力、严密的逻辑推理、完美的实验、有创造力的直觉，这正是高斯出类拔萃的原因。

高斯在物理学方面最引人注目的成绩就是在1833年与物理学家韦伯一起发明了有线电报。

高斯曾说：

"数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后."

"数论提供给我们一座用之不竭的宝库，储满了有趣的真理，这些真理不是孤立的，而是最紧密地相互联系着."

"任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。"

"物质的满足是多余的，灵魂的满足是一种更高的境界。至于我把数学应用到几块泥巴组成的星球，或应用到纯粹数学的问题上，这一点并不重要，但后者常常带给我更大的满足."

F.克莱因曾评价高斯说："如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的巅峰便是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。"

例1.计算：1 2 3 … n.

解析：思路1：就n的奇偶性讨论，可利用高斯求和的对称思想计算。

思路2：设S=1 2 3 … n，又S=n n-1 … 1，

思路3借助图形的直观性，形象而直观。

数学一开始就是研究"数"和"形"的，从古希腊时期起，人们就试图把它们统一起来。2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1，1＋2，1 2＋3，1＋2＋3＋4，等等为三角数（Triangular number）。他和门徒用1个圆球代表1，并且把三角数用下面的图形表示：

一般我们用Sn来表示1＋2＋3＋…＋n的值。现在要知道Sn的数目，我们可以设想有另外一个Sn（这里用白圆球来表示），把它倒放，并和原来的Sn靠拢拼合起来；我们就得到一个菱形（图二，这里n是等于4的情形），总共有n行，每一行有n＋1个圆球，所以全部有n（n＋1）个圆球。这是两个Sn，因此一个Sn应该是n（n＋1）÷2。

无独有偶，中国人也是用这方法找出Sn的值。宋朝数学家杨辉，他考虑由草束堆成的尖垛，顶层是一束，从上到下逐层增加一束，如果知道底层的束数，就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是："今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？答：36束。"他的计算方法和以上的说明是一样的。

毕达哥拉斯和门徒们发现了三角数的一个性质：任意两个连续三角数的和是一个平方数。用图形表示是：

我国著名数学家华罗庚曾说："数缺形时少直观，形少数时难入微。"

读者可以用公式对以上的性质给出证明。

很容易联想到的一个问题：是否

也能找到简单公式来算它们的和？

据说那个在澡堂里发现了"浮力定律"而忘记自己仍旧是赤身露体奔跑在街道上高喊着"Eureka！Eureka！"（我已发现了！我已发现了！）的希腊科学家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）早已知道这两个和的公式是：

可是在阿基米德以后的希腊数学家想要知道

的和的公式，却是无能为力。这个和的公式要在1000年后11世纪的阿拉伯数学家Alhean时才知道。我们问一个问题：对于任何m≥3，是否有一般的公式表示

的和呢？在1636年法国数学家费马（P．Fermat）兴高采烈的给朋友写了一封信："我已解决了在算术中可以算是最漂亮的一个问题。"他所讲的问题就是上面问的问题。

左边的式子是可以展开写成

中国数学家很早就认识了等差级数，在中国最早的数学书《周髀算经》里谈到"七衡"（日月运行的圆周）的直径以19833里100步×2递增，这就是等差级数。

约在公元1世纪成书的中国重要数学著作《九章算术》在《衰分》和《均输》二章里的问题和等差级数有关。

在5世纪末南北朝的张丘建在他著的《张丘建算经》就有三个问题是等差级数的问题：

[题一]今有女子善织布，逐日所织的布以仝数递增，已知第一日织五尺，经一月共织39丈，问逐日增多少？

[题二]今有女子不善织布，逐日所织的布以仝数递减，已知第一日织五尺，末一日织一尺，计织30日。问共织布多少。

答：9丈。

[题三]今有某君以钱赠给许多人，先第一人给三钱，第二人给四钱，第三人给五钱，继续依次递增，钱给其他许多人。给完钱后把诸人所得的钱全部收回，再平均分派，结果每人得100钱，问人数多少？

答：195人。

唐朝和宋朝的数学家研究级数，并不是单纯追求趣味性，而是实际的需要。当时的天文学家都假定日、月、星辰在天空中的运动是等加速或等减速运动，每日经行的路程是等差级数。

比如唐朝的天文学家僧一行（683—727），是世界上最早发现恒星在天上的位置会变动的天文学家。在他所著的《大衍历》里就是利用等差级数的求和公式来计算行星的行程。

宋朝时对等差级数和高阶等差级数的研究有最卓越的贡献的该是沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三类的东西推成长方台，底层排成一个长方形，以上的每层长阔各减少一个，因此他想要知道是否有简单的式子可以计算。

在沈括后，宋朝的数学家在级数研究有较好成果的，该算13世纪时的杨辉。他提出了三角垛公式：

1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）（n＋2）÷6。

的公式，以及更复杂的公式。这些也是比费马早三百多年的时间。级数理论和微积分学的产生有密切的关系，好像公式

如果再加上一些极限概念(中国数学家很早就有），可以很容易算出球体的体积公式，中国数学家很早就用几何方法来推算球体的体积。在宋元的时候中国基本上具备了产生微积分的准备条件，可惜却没有一个人能像以后的西欧的莱布尼兹及牛顿那样承先启后的工作。更糟的是在明清时中国数学却衰退起来。

分析与解例1的解决为例2提供借鉴与帮助.

（1）思路一：从特殊情形入手.

2 4=6=2×3；

2 4 6=12=3×4；

2 4 6 8=20=4×5；...

猜想：2 4 6 … 2n=n（n 1）.

思路二：转化为例1中的模式，

例4.借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1 2 3 … n＝1/2n（n 1）；由图②，通过对小圆圈的计数，我们可以得到

通过问题的解决，我们感受到多层次、多角度对问题的思维方法：从特殊到一般，从抽象到具体，从数到形.我们经历了提出问题并解决问题的过程：从连续自然数之和到连续偶数（奇数）之和，从低次到高次。

个别的看、重复的看、想象的看、一般的看，数学归纳推理是通过观察和组合特殊事例来发现普遍规律的过程。数学的许多结果是"看"出来的，所谓看就是一种直观判断。

参考文献：

林开亮，高斯算1 2 3 … 100谈起

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