二次函数解题思路十大技巧（二次函数）

5.1 二次函数知识点一、二次函数的概念，下面我们就来说一说关于二次函数解题思路十大技巧?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

二次函数解题思路十大技巧

5.1 二次函数

知识点一、二次函数的概念

一般地，形如y=ax2 bx c（a≠0，a、b、c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.

1. 任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2 bx c（a≠0，a、b、c为常数）的形式；因此我们将y=ax2 bx c（a≠0，）叫做二次函数的一般式.

2. 在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2 bx c才是二次函数.

3. 二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2 c；若c=0，则y=ax2 bx；若b=c=0，则y=ax2.

例：下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A．y＝3x﹣1 B．y

C．y＝3x2 x﹣1 D．y＝2x3﹣1

【解答】C

【解析】A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；

B、y不是二次函数，故此选项不合题意；

C、y＝3x2 x﹣1是二次函数，故此选项符合题意；

D、y＝2x3﹣1不是二次函数，故此选项不合题意；

故选C．

知识点二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围

一般地，二次函数y=ax2 bx c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义.

例：直角三角形的一条直角边长为xcm，两条直角边的和为7cm，面积为ycm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数．

【解答】yx（7﹣x），0＜x＜7，是二次函数

【解析】由题意得：yx（7﹣x），

∵两条直角边的和为7cm，

∴0＜x＜7．

这个函数是二次函数．

巩固练习

一．选择题

1． 当函数y＝（a﹣1）x2 bx c是二次函数时，a的取值为（　　）

A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1

2． 已知函数y＝ax2 bx c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　）

A．125个 B．100个 C．48个 D．10个

3． 下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．圆的面积S与半径R之间的关系

4． 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　）

A．y＝（x 1）（x﹣3） B．y＝x3 1

C．y＝x2

D．y＝x﹣3

5． 若函数y＝（3﹣m）xx 1是二次函数，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

6． 下列函数中不属于二次函数的是（　　）

A．y＝（x 1）（x﹣2） B．y

（x 1）2

C．y＝2（x 2）2﹣2x2 D．y＝1

x2

7． 若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（　　）

A．y＝2x2﹣1 B．y

C．y＝1

x2 D．y＝﹣x2 2x﹣1

8． 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　）

A．y＝mx2 3x﹣1 B．y＝（m﹣1）x2

C．y＝（m﹣1）2x2 D．y＝（﹣m2﹣1）x2

9． 下列各式中，一定是二次函数的有（　　）

①y2＝2x2﹣4x 3；②y＝4﹣3x 7x2；③y3x 5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2 bx c；⑥y＝（n2 1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2 4x﹣3．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（　　）

A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数

C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对

11．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）

A．m＝±2 B．m＝2

C．m＝﹣2 D．m为全体实数

12．若y＝（a2 a）是二次函数，那么（　　）

A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3

二．填空题

13．若y＝（a 2）x|a| 1是以x为自变量的二次函数，则a＝　 　．

14．如果函数y＝（m 1）x2是二次函数，那么m＝　 　．

15．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是　 　．

16．如果函数y＝（m﹣1）x2 x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是　 　．

17．已知二次函数y＝1﹣5x 3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　，常数项c＝　 　．

18．若y＝（m 2）x|m| 2x﹣1是二次函数，则m＝　 　．

19．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1 y2＝﹣x2﹣8x 4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为　 　．

20．函数y＝（m 2）2x 1是二次函数，则m的值为　 　．

21．当m≠　 　时，函数y＝（m﹣1）x2 3x﹣5是二次函数．

22．函数y＝（k）是二次函数，则k＝　 　．

三．解答题

23．已知函数y＝（1 m）是关于x的二次函数，求m的值．

24．已知函数y＝（m2﹣m）x2 mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：

（1）y是x的一次函数；

（2）y是x的二次函数．

25．下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数？

（1）y＝3x 1

（2）y＝3x2 2x 1

（3）y＝3x2 1

（4）y＝﹣3x2 x

（5）y

（6）yx2

26．指出下列二次函数中相应的a，b，c的值：

（1）y＝﹣5x2 3x 1； （2）y＝（x﹣1）2﹣1； （3）y＝﹣x2 6．

27．正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？

28．已知函数y＝（m2﹣m）x2 （m﹣1）x m 1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

29．已知两个变量x、y之间的关系为y＝（m﹣2）x﹣1，若x、y之间是二次函数关系，求m的值．

30．一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1．

（1）求k值．

（2）求当x＝0.5时y的值？

参考答案

一．选择题

1． 当函数y＝（a﹣1）x2 bx c是二次函数时，a的取值为（　　）

A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1

【解答】D

【解析】由题意得：a﹣1≠0，

解得：a≠1，

故选D．

2． 已知函数y＝ax2 bx c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　）

A．125个 B．100个 C．48个 D．10个

【解答】B

【解析】a有4种选法，b，c各有5种选法，故共有4×5×5＝100，

故选B．

3． 下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．圆的面积S与半径R之间的关系

【解答】D

【解析】A、关系式为：y＝kx b，故A错误；

B、关系式为t，故错误；

C、关系式为：C＝3a，故C错误；

D、S＝πR2，故D正确．

故选D．

4． 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（　　）

A．y＝（x 1）（x﹣3） B．y＝x3 1

C．y＝x2

D．y＝x﹣3

【解答】A

【解析】A、y＝（x 1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，是二次函数，所以A选项正确；

B、y＝x3 1，最高次数是3，不是二次函数，所以B选项错误；

C、y＝x2，右边不是整式，不是二次函数，所以C选项错误；

D、y＝x﹣3，最高次数是1，不是二次函数，所以D选项错误．

故选A．

5． 若函数y＝（3﹣m）xx 1是二次函数，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

【解答】B

【解析】∵函数y＝（3﹣m）xx 1是二次函数，

∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，

解得：m＝﹣3．

故选B．

6． 下列函数中不属于二次函数的是（　　）

A．y＝（x 1）（x﹣2） B．y

（x 1）2

C．y＝2（x 2）2﹣2x2 D．y＝1

x2

【解答】C

【解析】A、y＝（x 1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；

B、y（x 1）2是二次函数，故此选项不合题意；

C、y＝2（x 2）2﹣2x2＝8x 8不是二次函数，故此选项符合题意；

D、y＝1x2是二次函数，故此选项不合题意；

故选C．

7． 若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（　　）

A．y＝2x2﹣1 B．y

C．y＝1

x2 D．y＝﹣x2 2x﹣1

【解答】B

【解析】A．y＝2x2﹣1属于二次函数，不合题意；

B．y属于一次函数，符合题意；

C．y＝1x2属于二次函数，不合题意；

D．y＝﹣x2 2x﹣1属于二次函数，不合题意；

故选B．

8． 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（　　）

A．y＝mx2 3x﹣1 B．y＝（m﹣1）x2

C．y＝（m﹣1）2x2 D．y＝（﹣m2﹣1）x2

【解答】D

【解析】A、当m＝0时，不是二次函数，故不合题意；

B、当m＝1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故不合题意；

C、当m＝1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故不合题意；

D、当m取任意实数时，二次项系数不等于0，是二次函数，故符合题意．

故选D．

9． 下列各式中，一定是二次函数的有（　　）

①y2＝2x2﹣4x 3；②y＝4﹣3x 7x2；③y3x 5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2 bx c；⑥y＝（n2 1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2 4x﹣3．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】B

【解析】①y2＝2x2﹣4x 3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；

②y＝4﹣3x 7x2，是二次函数；

③y3x 5，分母中含有自变量，不是二次函数；

④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x 6，是二次函数；

⑤y＝ax2 bx c，含有四个自变量，不是二次函数；

⑥y＝（n2 1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；

⑦y＝m2x2 4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．

∴只有②④一定是二次函数．

故选B．

10．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（　　）

A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数

C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对

【解答】C

【解析】圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，

故选C．

11．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）

A．m＝±2 B．m＝2

C．m＝﹣2 D．m为全体实数

【解答】C

【解析】由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，

解得m≠2，且m＝±2，

∴m＝﹣2．

故选C．

12．若y＝（a2 a）是二次函数，那么（　　）

A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3

【解答】D

【解析】根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2

解得a＝3或﹣1

又因为a2 a≠0即a≠0或a≠﹣1

所以a＝3．

故选D．

二．填空题

13．若y＝（a 2）x|a| 1是以x为自变量的二次函数，则a＝　　．

【解答】2

【解析】由题意得：|a|＝2，且a 2≠0，

解得：a＝2，

故答案为2．

14．如果函数y＝（m 1）x2是二次函数，那么m＝　　．

【解答】2

【解析】∵函数y＝（m 1）x2是二次函数，

∴m2﹣m＝2，

（m﹣2）（m 1）＝0，

解得：m1＝2，m2＝﹣1，

∵m 1≠0，

∴m≠﹣1，

故m＝2．

故答案为2．

15．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是　　．

【解答】0

【解析】由题意得：k2﹣3k 2＝2，

解得k＝0或k＝3；

又∵k﹣3≠0，

∴k≠3．

∴k的值是0时．

故答案为0．

16．如果函数y＝（m﹣1）x2 x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是　　．

【解答】m≠1

【解析】∵函数y＝（m﹣1）x2 x（m为常数）是二次函数，

∴m﹣1≠0，解得：m≠1，

故答案为m≠1．

17．已知二次函数y＝1﹣5x 3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　，常数项c＝　　 ．

【解答】3，﹣5，1．

【解析】二次函数y＝1﹣5x 3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，

故答案为3，﹣5，1．

18．若y＝（m 2）x|m| 2x﹣1是二次函数，则m＝　　．

【解答】2

【解析】∵y＝（m 2）x|m| 2x﹣1是二次函数，

∴|m|＝2且m 2≠0，

解得：m＝2．

故答案为2．

19．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1 y2＝﹣x2﹣8x 4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为　　．

【解答】2

【解析】由题意设y1＝a（x﹣m）2﹣8（a＞0），且y1 y2＝﹣x2﹣8x 4．

∴y2＝﹣x2﹣8x 4﹣a（x﹣m）2 8．

∵x＝m，y2＝﹣8，

∴﹣m2﹣8m 12＝﹣8，解得m＝2或m＝﹣10（舍去），

∴m的值为2．

故答案为2．

20．函数y＝（m 2）2x 1是二次函数，则m的值为　　．

【解答】1

【解析】∵函数y＝（m 2）2x 1是二次函数，

∴m2 m＝2，m 2≠0，

解得：m＝1或﹣2，m≠﹣2，

∴m＝1．

故答案为1．

21．当m≠　　时，函数y＝（m﹣1）x2 3x﹣5是二次函数．

【解答】1

【解析】∵函数y＝（m﹣1）x2 3x﹣5是二次函数，

∴m﹣1≠0，解得m≠1．

故答案为m≠1．

22．函数y＝（k）是二次函数，则k＝　 　．

【解答】﹣1

【解析】由题意，得

2k2 k 1＝2且k0，

解得k＝﹣1，

故答案为﹣1．

三．解答题

23．已知函数y＝（1 m）是关于x的二次函数，求m的值．

【解答】m＝1

【解析】∵y＝（1 m）是关于x的二次函数，

∴m2 1＝2，

解得m＝±1，

∵m 1≠0，

∴m≠﹣1，

∴m＝1．

24．已知函数y＝（m2﹣m）x2 mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：

（1）y是x的一次函数；

（2）y是x的二次函数．

【解答】（1）m＝1；（2）m≠1和m≠0

【解析】（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因为m≠0，所以，m＝1．

（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，

∴m≠1和m≠0．

25．下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数？

（1）y＝3x 1

（2）y＝3x2 2x 1

（3）y＝3x2 1

（4）y＝﹣3x2 x

（5）y

（6）yx2

【解答】见解析

【解析】（1）y＝3x 1属于一次函数；

（2）y＝3x2 2x 1属于二次函数；

（3）y＝3x2 1属于二次函数；

（4）y＝﹣3x2 x属于二次函数；

（5）y属于反比例函数；

（6）yx2属于二次函数．

26．指出下列二次函数中相应的a，b，c的值：

（1）y＝﹣5x2 3x 1； （2）y＝（x﹣1）2﹣1； （3）y＝﹣x2 6．

【解答】见解析

【解析】（1）y＝﹣5x2 3x 1，

a＝﹣5，b＝3，c＝1；

（2）y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，

a＝1，b＝﹣2，c＝0；

（3）y＝﹣x2 6，

a＝﹣1，b＝0，c＝6．

27．正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？

【解答】y是x的二次函数

【解析】y是x的二次函数．

由题意得，（x 4）2＝y 42，

整理得，y＝x2 8x，

故y是x的二次函数．

28．已知函数y＝（m2﹣m）x2 （m﹣1）x m 1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

【解答】（1）m＝0；（2）m≠0且m≠1

【解析】依题意得

∴

∴m＝0；

（2）依题意得m2﹣m≠0，

∴m≠0且m≠1．

29．已知两个变量x、y之间的关系为y＝（m﹣2）x﹣1，若x、y之间是二次函数关系，求m的值．

【解答】m＝﹣2

【解析】由题意得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，

解得：m＝﹣2．

30．一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1．

（1）求k值．

（2）求当x＝0.5时y的值？

【解答】（1）k＝2；（2）y

【解析】（1）由题意得：k2﹣3k 4＝2，且k﹣1≠0，

解得：k＝2；

（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）2x﹣1得：y＝x2 2x﹣1，

当x＝0.5时，y．

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