统计整数m和n（对任意正整数m和n）

之前曾发文《怎样比较n的（n 1）次方与（n 1）的n次方的大小》，以及《n的（n 1）次方与（n 1）的n次方再比较》，下面我们就来说一说关于统计整数m和n?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

统计整数m和n

之前曾发文《怎样比较n的（n 1）次方与（n 1）的n次方的大小》，以及《n的（n 1）次方与（n 1）的n次方再比较》。

对任意两个正整数m和n，若n>m，怎样比较m^n与n^m的大小，是本文所要讨论的。

一、如果m=1，则1^n=1，n^1=n，1^n<n^1，这太简单了。

二、如果m=2，则2^3<3^2；2^4=4^2；n≥5时，2^n>n^2.

三、如果m≥3，可设k=n/m，显然k>1.

m^n=m^（km）=（m^k）^m

n^m=（km）^m

所以，可通过探究m^k一km，比较m^k与km的大小，来判定m^n与n^m的大小。

△考查函数y=a^x一ax（a>0，a≠1）

x=1时，y=0

函数y=a^x一ax的导数

y'=a^xlna一a

a≥3时，在区间（1， ∞）上，y'>0，说明在区间[1， ∞)上，y=a^x一ax为单调增函数。

可见，a≥3且x>1时，y=a^x一ax>0.

△当m≥3时，把m^k一km套用于函数y=a^x一ax，因为k>1，所以m^k一km>0，从而得到

（m^k）^m一（km）^m>0

m^n一n^m>0，即

m^n>n^m

△现在，若要比较47^48与48^47、59^103与103^59、17453^17456与17456^17453等等，就不费吹灰之力了。

△谢阅读，请指教。